高次元ガスケット上の自己回避確率過程とくりこみ力学系の固定点の唯一性

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640116
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 服部 哲弥 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10180902)
• Keywords: くりこみ群 / hierarchical model / porous medium equation / Sierpinski gasket / self-repelling walk / law of iterated logarithm / mean square displacement / renormalization group

Research Abstract

本研究の目的は,短期的には高次元ガスケット上の自己回避道(self-avoiding paths)の漸近的振舞いを,歩数空間におけるくりこみ力学系の軌道解析を経由して解析することであるが,最終的には,数理物理学,特に場の量子論におけるくりこみ群の方法を念頭に置いて,漸近的性質の統一的な解析手段としてのくりこみ力学系と呼びうる方法の手がかりの一端を見いだすことである.
本年度の主要な研究成果は,実数空間とSierpinski gasketの上でそれぞれブラウン運動と自己回避過程を「連続的に内挿する」連続非自明確率過程の族を構成した(確率過程の族があることを証明した)ことである.
Random walkのdecimation操作をprojectionとする整合条件によってブラウン運動を構成することはこれらの空間で知られていた.また筆者は自己回避過程について同様の構成を行っていた.今回,両者を含む1パラメータの確率過程の族を構成し,パラメータに関してpath上の測度の弱収束の意味,および,path次元の意味の両方で連続であることを証明した.後者はmean square displacement exponentや重複対数の法則に現れる指数に関係する量で,後者に関する結果も見いだした.
鍵となる整合条件はくりこみ群と呼ばれる手法,即ち,ここではdecimationに基づくpath上のスケール変換を測度空間上に投影するものである.測度の特性関数にうまくパラメータを入れることで目標の確率過程を得られるという見通しの下で今回の発見に至った.くりこみ群の思想が数学における解析技術として存在しうることを示すさらなる傍証の一つとして意義があると考える.

Research Products

• [Publications] B.Hambly, K.Hattori, T.Hattori: "Self-repelling walk on the Sierpinski gasket"Probability theory and related fields. (2002)
• [Publications] T.Hara, T.Hattori, H.Watanabe: "Triviality of hierarchical Lsing model in four dimensions"Communications in mathematical Physics. 220. 13-40 (2001)