高次元ガスケット上の自己回避確率過程とくりこみ力学系の固定点の唯一性

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640116
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 服部 哲弥 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10180902)
• Keywords: くりこみ群 / Sierpinski gasket / self-repelling walk / gelf-avoiding walk / law of iterated logarithm / mean sguare displacement / renormalization group

Research Abstract

本研究の目的は,高次元ガスケット上の自己回避経路(self-avoiding paths)の漸近的振舞いを,歩数空間におけるくりこみ力学系の軌道解析を経由して解析することである.最終的には,数理物理学,特に場の量子論におけるくりこみ群の方法を念頭に置いて,漸近的性質の統一的な解析手段としてのくりこみ力学系と呼びうる方法の手がかりの一端を見いだしたい.
本年度の主要な研究成果は,任意次元のガスケット上の自己回避経路の漸近的振舞いに関して,対応するくりこみ群の非自明固定点の唯一性と軌道の固定点への収束を仮定して,displacementの指数などのpathの漸近的振舞いを決定したことである.
くりこみ群とは,当該研究成果においては,decimationに基づくpath上のスケール変換(正確には,粗視化)を測度空間上に投影した写像が定義する力学系である.自己回避経路はマルコフ性がないために,対応するrandom walkの問題に比べて用いることのできる解析的手法が著しく制限される.くりこみ群の方法の適用可能性を図形によらずに示すことは,マルコフ性を持たない確率過程にも適用可能な新しい解析手段としてのくりこみ群の可能性を示すために重要な試みであると考える.
今後の重要な課題として対応するくりこみ群の非自明固定点の唯一性と軌道の固定点への収束を証明する一般論の構築がある.これはたいへん難しいが重要な問題となるであろう.

Research Products

• [Publications] B.Hambly: "Self-repelling walk on the Sierpinski gasket"Probability theory and related fields. 124. 1-25 (2002)
• [Publications] T.Hattori: "Renormalization group analysis of the self-avoiding paths・・・"Journal of statistical physics. 109. 39-66 (2002)