Riemann面上の有界正則関数環と同型問題

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640147
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 林 実樹廣 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40007828)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 長坂 行雄 北海道大学, 医療技術短期大学部, 教授 (50001855) ; 中路 貴彦 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30002174) ; 井上 純治 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40000856) ; 神保 敏弥 奈良教育大学, 教育学部, 教授 (80015560) ; 泉池 敬司 新潟大学, 理学部, 教授 (80120963)
• Keywords: リーマン面 / 有界正則関数 / 極大イデアル空間 / 点分離問題 / ハーディ族 / 葉被覆面 / ミルベルク現象 / 一致の定理

Research Abstract

リーマン面上の有界正則関数全体のなすバナッハ環が同型ならば、その台となっているリーマン面のロイデン・リゾルーションがいつ等角同値になるかという問題は、ある条件下で正しいが一般には正しくないことは示している。この事実は、同型問題をより完全な形で解明するためには、有界正則関数環とリーマン面の関係について、より一層深い研究を必要としていることを意味しており、今その進展に苦慮している。
他方、この問題に関連して、より状況の解明が容易な2葉被覆面の点分離問題(ミルベルク現象の問題)や、リーマン面上の離散点列上に指定した極を有する有理型関数を有界正則関数を法として求める問題については、中井三留(名工大・名誉教授)および私の学生の小林保幸と共同の研究により進展が得られ、一部は既に発表、更に、発表のため結果をまとめている最中である。
長坂とは最近の研究をもとに、複素関数論の教科書をまとめている最中である。
神保氏は多変数関数論の専門家であり、有界領域の閉包上で連続な正則関数について研究している。今年度はトーラス上の関数のグラフの多項式凸包の形状についての研究発表を行っている。リーマン面上の有界正則関数環の極大イデアル空間は、n次元複素空間内の多項式凸集合で近似されることが知られており、この観点から本研究の進展に貢献している。
リーマン面上の有界正則関数環の最も単純な場合が、単位開円板の場合であり、この場合は極大イデアル空間の様子が詳しく調べられている。泉池による研究は、最近もめざましい進展を遂げており、互いに刺激を受けつつ研究を進めている。
また、有界正則関数はハーディ族の特殊な場合であり、様々な領域上のハーディ族とその上の作用素論の研究の進展も著しい。こちらは、中路および井上により進められており、こうした結果もリーマン面の立場からの研究の指針となっている。

Research Products

• [Publications] M. Hayashi: "A uniqueness theorem and the Myrberg type phenomenon for a Zalcman domain"J. d'Analyse Math.. 82. 267-283 (2000)
• [Publications] J. Inoue: "On the zeros of an extremal problem in H^1"Complex Variables Theory Appl.. 40. 173-188 (2000)
• [Publications] T. Nakazi: "Compact Toeplitz operators with continuous symbols on weighted Bergman spaces"Glasgow J. Math.. 42. 31-35 (2000)
• [Publications] T. Nakazi: "Norm inequalities for some singular integral operators"Math. Ineq. and Appl.. 3. 411-421 (2000)
• [Publications] T. Nakazi: "Two dimensional Q-algebras"Linear Alg. Appl.. 315. 197-205 (2000)
• [Publications] T. Nakazi: "Finite rank intermediate Hankel operators on the Bergman space"International J. Math and Math. Sci.. 25. 19-31 (2001)
• [Publications] T. Nakazi: "Toeplitz operators and weighted norm inequalities on the bidisc"Math. Ineq. and Appl.. 4. 429-441 (2001)
• [Publications] T. Nakazi: "Functions in N+ with the positive real parts on the boundary, and extremal problems in H^1"Complex Valiables Theory Appl.. 44. 259-279 (2001)
• [Publications] G. Hirasawa: "Korovkin type approximation theorems on the disk algebra"Hokkaido Math. J.. 29. 103-117 (2000)
• [Publications] K. Izuchi: "Spreading Blaschke products and homeomorphic parts"Complex Variables Theory Appl.. 40. 359-369 (2000)
• [Publications] P. Gorkin: "Higher order hulls in H^∞. II."J. Funct. Anal.. 177. 107-129 (2000)
• [Publications] K. Izuchi: "Douglas algebras which admit codimension 1 linear isometries"Proc. Amer. Math. Soc.. 129. 2069-2074 (2001)
• [Publications] K. Izuchi: "Singular inner functions of L^1-type. II."J. Math. Soc. Japan. 53. 285-305 (2001)
• [Publications] K. Izuchi: "Trivial points in the maximal ideal space of H^∞. III."Houston J. Math.. (in press).
• [Publications] K. Izuchi: "Outer and inner vanishing measures and division in H^∞+C"Revista Mate. Iberoamericana. (in press).
• [Publications] K. Izuchi: "On ideals in H^∞ whose closures are intersections of maximal ideals"Michigan Math. J.. (in press).
• [Publications] K. Izuchi: "K-hulls of QC-level sets"Indiana Univ. Math. J.. (in press).
• [Publications] T. Hosokawa: "Isolated points and essential components of Composition Operators on H^∞"Proc. Amer. Math. Soc.. (in press).