2001 Fiscal Year Annual Research Report
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12640176
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
平地 健吾 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (60218790)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小松 玄 東京大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60108446)
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| Keywords | ベルグマン核 / 放物型不変式論 / 強擬凸領域 / CR幾何 |
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| Research Abstract |
リーマン多様体上では熱核のメリン変換を用いてスペクトル、ゼータ関数を表示することができ,その表示を用いて指数定理などが示される.今年度の研究では強擬凸領域での類似する理論の構築を試みた.
熱核の対応物としてベルグマン核を考えた場合,熱方程式の時間変数に対応する自然な独立変数がとれないため,メリン変換を考えることはできない.そこで領域の定義関数rを一つ固定し,正の実数aに対して重みr^aに対する正則二乗可積分関数空間のベルグマン核K[a]を考えた.K[a]をパラメータaをもつ核関数の族と見てその性質を研究した.
研究の第一段階ではK[a]の境界での漸近展開のaに対する依存性を解析した.その結果,K[a]の漸近展開の表示はaについて(形式的に)解析接続が可能であり,K[a]が(漸近級数に値をとる)複素平面上の有理型関数を定義することが明らかになった.モデルケースである,境界が被約ハイゼンベルグ群になる領域の場合ではK[a]はリーマン・ゼータ関数となりK[a]がゼータ関数の自然な一般化であることも分かった.
第二段階ではK[a]の留数を計算した.留数はrの選び方に依存するため,ここではrが複素モンジュ・アンペール方程式を満たす場合を考えた.結果として,全ての留数はrから定義されるアンビエント計量の曲率テンソルのワイル不変式として表されることが分かった.この表示は今までに知られていた通常のベルグマン核およびセゲー核の漸近展開の表示の一般化になっており,これら二つの漸近展開の間の具体的な関係式を与えている.
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