自由境界の形状の時間的変化について

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640186
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 酒井 良 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70016129)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 高桑 昇一郎 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10183435) ; 石井 仁司 早稲田大学, 教育学部, 教授 (70102887) ; 望月 清 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80026773) ; 肥田野 久仁男 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助手 (00285090) ; 倉田 和浩 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10186489)
• Keywords: ポテンシャル論 / 自由境界問題 / 求積領域 / ヘレショウ流れ

Research Abstract

本研究は、自由ないし移動境界問題の中で典型的なヘレショウの流れに焦点をあて、ポテンシャル論的方法、複素解析的方法を主に用いて、近年の非線形偏微分方程式の理論や粘性解の理論を取り込みつつ、古典的な方法では得られなかった流れの形状の時間的変化の特性を明らかにすることを目指すものである。
本年度は、流れの初期領域の境界上に角があり、その角の内角が全角(360度)のときの詳しい研究を昨年度に引き続き行った。昨年度に得られた調和測度の評価を用いて、層流点であるための十分条件を新しい折り返し可能定理に帰着できた。つまり、内部問題を解決した。現在は、外部問題の解決に向けて種々の準備を行っているところである。
各分担者は、この研究成果を得るにあたり様々な貢献を為したが、各分担者の個別の研究にも成果をあげた。それらのいくつかを簡単にまとめると以下の通りである。
◇望月:無限遠の近傍だけで効果的な摩擦項を伴う波動方程式について、解のエネルギーは時間とともに減衰することを示した。
◇石井:Hamilton-Jacobi方程式の不連続な粘性解に対する新しい比較定理を確立した。岩石の磨耗の数学モデルについて、境界がグラフで与えられる場合についてその一意存在を証明した。
◇高桑:Euclid空間の有界領域上の非線形楕円型方程式系の解の一意性をPohozaevの恒等式を用いて証明した。
◇倉田:obstacleの形をあらかじめ球と指定しての固有値の最適化問題を考え、いくつかの領域に対しては最適な球(obstacle)の位置を決定づけた。
◇肥田野:半線形波動方程式の時刻が無限大にいたるときの漸近挙動を散乱問題と自己相似性の観点から考察した。またこの2つの関係も調べた。

Research Products

• [Publications] K.Mochizuki: "Inverse problem for interior spectral data of Strum-Liouville operator"J. Invers and Ill-Posed Problem. 9・4. 425-433 (2001)
• [Publications] K.Mochizuki: "Energy decay of solutions to the wave equation with linear dissipation localized near infinity"Publ. Res. Inst. Math. Sci. 37・3. 441-458 (2001)
• [Publications] H.Ishii: "A generalization of a theorem of Barron and Jensen and a comparison theorem for lower semicontinuous viscosity solutions"Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 131・1. 137-154 (2001)
• [Publications] H.Ishii: "An approximation scheme for motion by mean curvature with right-angle boundary condition"SIAM J. Math. Anal.. 33・2. 369-389 (2001)
• [Publications] E.M.Harrell: "On the placement of an obstacle or a well so as to optimize the fumdamental eigenvalue"SIAM J. Math. Anal.. 33. 240-259 (2001)
• [Publications] K.Hidano: "Scattering and self-similar solutions for the nonlinear wave equation"Differential and Integral Equations. 15・4. 405-462 (2002)