密度依存型の拡散項をもつ反応拡散方程式の解の大域的挙動の研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12640213
• Research Institution: Ehime University
• Principal Investigator: 観音 幸雄 愛媛大学, 教育学部, 助教授 (00177776)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 方 青 愛媛大学, 理学部, 助手 (10243544) ; 北川 桂一郎 愛媛大学, 教育学部, 教授 (00025404)
• Keywords: 分岐理論 / 競争モデル / 比較定理

Research Abstract

自然現象の出現メカニズムを理解するために,現象を微分方程式によって記述し,その方程式の解構造を調べることがしばしば行われてきている.本研究では,競争関係にある2種の生物の個体群の動態を記述する密度に依存した拡散項をもつLota-Volterra競争系を考察し,生物の共存のメカニズムを解明することを目標としている.
記述された方程式が単独の場合には,比較定理やエネルギー関数を用いることにより,大域的アトラクタを決定することができ,解の詳細な漸近挙動を理解することができる.しかしながら,方程式が連立の場合には,比較定理が成立することは期待できず,このことが定常解の分岐構造の解析を複雑なものにする一つの要因となっている.本研究では,パラメータがある値のときには比較定理が成り立つ競争系を考察し,そのパラメータに関する解構造の解析を行っている.
今年度は,昨年度に引き続いて,拡散項が線形であり,非線形項が2次である古典的なLotka-Volterra競争系を考察し,その定常解の大域的分岐構造を調べることにした.結果として,数学的な方法と数値解析的な方法(コンピュータを用いた区間演算)を相互補完的に用いて,この競争系の定常解の大域的分岐構造は,Chafee-Infante (1974/75)によって示された単独の反応拡散方程式のそれと類似していることがわかった.
来年度以降の課題は,拡散項を線形から非線形へと変形したときの解構造の解析であり,数学的な方法や数値的な方法を用いて,分岐点の周りや特異極限の解析を行う必要があると思われる.

Research Products

• [Publications] Yukio Kan-on: "On the structure of the set of stationary solution for a Lotka-Volterra competition model with diffusion"Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. B Appl. Algorithms. 8・2. 263-273 (2001)
• [Publications] Quing Fang, Tetsuro Yamamoto: "Superconvergence of finite difference approximations for convection-diffusion problems"Numerical Linear Algebra with Applications. 8・4. 99-110 (2001)