2002 Fiscal Year Annual Research Report
非線形楕円型境界値問題の標準形と特異解を含めた解の大域構造の研究
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12640225
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
四ツ谷 晶二 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60128361)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783)
二宮 広和 龍谷大学, 理工学部, 助教授 (90251610)
柳田 英二 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80174548)
池田 勉 龍谷大学, 理工学部, 教授 (50151296)
岡 宏枝(國府 宏枝) 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20215221)
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| Keywords | 半線形楕円形方程式 / 球対称解 / 標準形 / cross-diffusion / 反応拡散方程式 / 非局所 |
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| Research Abstract |
本年度は最終年度で,第一の研究目標であった非線形楕円型境界値問題の標準形の理論を,Kabeya-Yanagida-Yotsutniの共著論文として公刊した.この論文の概要は次の様なものである.
半線形楕円型方程式の正値球対称解に関しては,ここ20年間いろんな領域,境界条件のもとで,個別にいろいろな結果が得られている.方程式や境界条件がわずかにかわるだけで,全く別の計算を必要とする.本論文では,球対称な半線形楕円型方程式に対して,巧妙な変数変換を行うことにより一つの標準形に帰着でき,一見複雑にみえる様々な境界条件も,Dirichlet, Neumann, Robin境界条件と解釈できることを示した.この結果をYanagida-Yotsutaniによる全空間おける解の構造定理と結びつけ,標準形に対する解の構造定理を得た.これにより,従来は未知であった特異解を含めた解の構造を明らかにでき,同時に,統一的な理解を可能とした.
この標準形の理論の応用し,Myogahara-Yanagida-Yotsutaniの共著論文で,従来は未解明であった,半線形楕円型方程式のballの内部・外部領域における,Dirichlet問題の特異解を含む解の全体構造を明らかにした.
関連する話題として,数理生態学にあらわれるcross-diffusion方程式の極限方程式が,従来知られているものと全く別のタイプの特異解をもつことをLou-Ni-Yotsutaniの共著論文で示した.現在,さらに詳細な解の構造の解明を進めている.この極限方程式は,未知の定積分項を含む非局所非線形境界値問題であり,従来全く解析の手段が分からなかったものである.この解析で得られた新しい手法は,さまざまの分野にあらわれる,未解決の非局所問題の解析に有効であることが分かってきた.例えば,1927年,流体力学者Oseen(オセーン)が発見した2次元ナビエ・ストークス方程式の厳密解の分岐理論的な完全理解をIkeda-Kondo-Okamoto-Yotsutaniの共著論文で示している.
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[Publications] H.Ikeda, K.Kondo, H.Okamoto, S.Yotsutani: "On the global branches of the solutions to a nonlocal boundary-value problem arising in Oseen's apiral flows"Communication on Pure and Applied Analysis. (to appear). (2003)
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[Publications] Y.Lou, W.-M.Ni, S.Yotsutani: "On a limiting system in the Lotka-Volterra competition with cross-diffusion"Discrete and Continuous Dynamical Systems. (to appear). (2003)
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[Publications] Y.Kabeya, E.Yanagida, S.Yotsutani: "Canonical forms and structure theorems for radial solutions to semi-linear elliptic problems"Communication on Pure and Applied Analysis. 1・1. 85-102 (2002)
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[Publications] H.Myogahara, E.Yanagida, S.Yotsutani: "Structure of positive radial solutions for semilinear Dirichlet problems on a ball"Funkcial.Ekvac.. 45・1. 1-21 (2002)
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[Publications] Y.Kabeya, H.Morishita, H.Ninomiya: "Imperfect bifurcations arising from elliptic boundary value problems. Nonlinear Anal"Nonlinear Anal.Ser.A : Theory Methods. 48・5. 663-684 (2002)
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[Publications] S.Jimbo, Y.Morita: "Ginzburg-Landau equation with magnetic effect in a thin domain"Calc.Var.Partial Differential Equations. 15・3. 325-352 (2002)
