外部領域における圧縮性Navier-Stokes方程式の解の漸近挙動と拡散の研究

2000 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12740093
• Research Institution: Kyushu Institute of Technology
• Principal Investigator: 小林 孝行 九州工業大学, 工学部, 助教授 (50272133)
• Keywords: 圧縮性流体 / Navier-Stokes方程式 / 非線形偏微分方程式 / 双曲型方程式 / 放物型方程式 / 初期値境界値問題 / 安定性理論 / 半群

Research Abstract

圧縮性Navier-Stokes方程式の線形化方程式より得られる作用素のスペクトル解析、特に、原点および遠方でのレゾルベントの漸近挙動を全空間と有界領域の場合に調べ、コンパクトの議論、半群の理論、cut-offテクニックを用いることで、外部領域の場合に拡張した。このスペクトル解析をもとに、半群の理論とコンパクトな台を持つ滑らかな関数のフーリエ変換像の漸近的性質を用いることにより、cut-offテクニックによって、線形化方程式の解の局所エネルギー評価が得られた。この評価から、圧縮性Navier-Stokes方程式の解の正則性は密度部分の一階双曲型方程式の解の性質に従うが、漸近挙動は、2階の放物型方程式の解の性質に従うことが分かる。また、圧縮性Navier-Stokes流は、外部領域の境界の近くでは減衰し、空間遠方へ拡散していることを示唆している。一方、全空間の場合に、エネルギー法とフーリエ解析を用い、より精密な解の減衰評価を行った結果、解は、漸近的に二つに分けられ、一つは熱方程式的な挙動、もう一つは、放物双曲型混合方程式特有の挙動をする事が分かった。特に、後者は、計るノルムにより、熱方程式の解より早く減衰する場合と、減衰が期待できない場合があり、これらのことは、圧縮性Navier-Stokes流の拡散波動の影響を示唆している。これらの評価と局所エネルギー減衰評価を用いて、外部領域の場合の線形化方程式の時間に関する減衰および増大評価を導いた。線形化方程式の場合、外部領域の場合においても、遠方への拡散と拡散波動の影響があることがわかる。また、非線形方程式の場合も、非線形項の影響で初期値の滑らかさの仮定は強いが、同様の結論が得られた。

Research Products

• [Publications] Takayaki Kobayashi: "Some estimates of solutions for the equations of motion of compressible viscous fluid in an 3D exterior domain"Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Vol.42. 151-1158 (2000)
• [Publications] Ryo I Kehata et al.: "Remark on the L_2 estimates of the density for the compressible Navier-Stokes flow in R^3"Nonlineas Analysis. (to appear).