特異代数曲線の標準環と特殊一次系

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 12874004
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 今野 一宏 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10186869)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 足利 正 東北学院大学, 工学科, 教授 (90125203) ; 大野 浩司 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助手 (20252570) ; 難波 誠 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60004462)
• Keywords: 代数曲線 / 代数曲面 / 標準環 / 特殊一次系

Research Abstract

非特異代数曲面上の数値的1連結な非零有効因子を単に曲線と呼ぶ。曲線上の特殊一次系、特に標準一次系を研究し、その一般型代数曲面への応用を考えた。曲線が数値的2連結な場合は、標準一次系が基点を持たない事を利用して、ある種の複体を構成し、このコホモロジーから非特異曲線のクリフォード指数に相当する不変量を定義することができる。しかし、これを数直的1連結な場合に拡張することは非常に困難である。そこで、種数の小さな数値的1運結かつ非2連結な曲線を例に取り、その標準環の代数構造研究を通して特殊一次系が現れる様を観察した。この計算からは、非特異な曲線と同様かまたは非常に特殊な効果的分解を持つ事が類推されるが残念ながらまだ一般的な結果を得るには至っていない。
曲線が一般型代数曲面の標準曲線の場合には、曲線の標準環と曲面のそれは密接に関連する。これを利用しつつ、更に曲線に適用した手段の拡張を用いれば、曲面の標準環の生成元や関係式の次数の上限を決定できる。正則な一般型代数曲面ならば、多くの場含、4次以下の元で生成され8次以下の関係式を持つ事が判明した。
一般型代数曲面のうち標準写像が像の上に双有理となるものを標準曲面という。標準環の関係式のうち2次のものが定義する多様体が、もともとの曲面とどれくらい異なるかを調べる目的で、標準曲面の2次包、すなわち標準像を通る2次超曲面全部の共通部分を研究した。その結果、2次包の次元はそれほど大きくなれず、高々19である事実が明らかになった。

Research Products

• [Publications] Tadashi Ashikaga, Kazuhiro Konno: "Global and local propperties of pencils of algebraic curves"Adv.Stud.Math..
• [Publications] Kazuhiro Konno: "On the quadric hull of a canonical surface"Preprint.