頂点作用素代数のモジュラー不変のヒルベルト型、ジーゲル型への拡張を目指して

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440002
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 宮本 雅彦 筑波大学, 数学系, 教授 (30125356)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 森田 純 筑波大学, 数学系, 教授 (20166416) ; 内藤 聡 筑波大学, 数学系, 助教授 (60252160) ; 木村 達雄 筑波大学, 数学系, 教授 (30022726) ; 北詰 正顕 千葉大学, 理学部, 教授 (60204898) ; 竹内 潔 筑波大学, 数学系, 助教授 (70281160)
• Keywords: 保型形式 / 擬トレイス関数 / モジュラー関数 / ヒルベルト型保型形式 / ジーゲル型保型形式 / テンソル積 / 頂点作用素代数 / ムーンシャイン予想

Research Abstract

頂点作用素代数は、モンスター単純群の既約表現の次元と楕円モジュラー関数の係数との関係から導きだされ、2次元共形場理論の厳密な数学公理を与えるものと理解されている。これが持つ性質のうちで最も注目されるのはモジュラー不変性で、トレイス関数の集合がモジュラー群によって不変となっている。この結果は色々拡張され、自己同型のトレイス関数に対するモジュラー不変性や、研究代表者の宮本によって保型形式論で重要なテータ関数の拡張、多変数型のトレイス関数のモジュラー不変性などが示されている。この点に注目して、多変数型のモジュラー形式を頂点作用素代数を使って構成しようというのが、この研究の目標である。初年度の平成13年から14年度にかけて、有理数ウエイトを持つモジュラー関数やモジュラー不変性の観点からトレイス関数の拡張を導入することが自然に出来、それにより、共形場理論で問題となっていたlogarithmic型のトレイス関数の数学的な意味を明確にすることに成功した。平成15年度ではモジュラー不変性との関係が予想されているテンソル積の研究を進め、C2有限条件の下で、テンソル積加群が自然に定義できることを示し、オービフォルド型の頂点作用素代数に対する応用を得た。最終年である16年度の目標は、これまでの研究の集大成として、これらのテンソル積等を利用して、ヒルベルト型などの多変数型の頂点作用素代数の拡張を構成し、ヒルベルト型のモジュラー不変性を持つことを示すことである。

Research Products

• [Publications] 宮本雅彦: "VOAs generated by two conformal vectors whose tau involutions generate S_3"Journal of Algebra. 268. 653-671 (2003)
• [Publications] 宮本雅彦: "A new construction of the moonshine vertex operator algebra over the real number field"Annals of Mathematics. (to appear). (2004)
• [Publications] 宮本雅彦: "Uniform product of Agn(V) for an orbifold model V and G-twisted Zhu algebra"Journal of Algebra. (to appear). (2004)
• [Publications] 宮本雅彦: "Modular invariance of vertex operator algebras satisfying C2-cofiniteness"Duke Mathematical Journal. 122(to appear). (2004)