リー代数と量子群の表現論

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440010
• Research Institution: Osaka City University
• Principal Investigator: 谷崎 俊之 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70142916)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 川中 宣明 大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10028219) ; 庄司 俊明 東京理科大学, 理学部, 教授 (40120191) ; 柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (60027381) ; 兼田 正治 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60204575) ; 斉藤 義久 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (20294522)
• Keywords: 無限次元リー代数 / 量子群 / 代数群 / 最高ウェイト加群

Research Abstract

1.量子群の旗多様体の研究 研究代表者は,非可換スキームとしての量子群の旗多様体を用いて量子群の表現論の研究を行った.特にD加群に関して考察し,ベイリンソン-バーンシュタイン型定理が成り立つことを証明した.これはローゼンバーグ-ルンツの予想の一部を解決するものである.
2.アフィン量子群の有限次元表現の研究 分担者の柏原はアフィン量子群の有限次元表現の結晶基底について研究し、その基本的性質を調べた.特に,基本表現のテンソル積が既約になるための必要十分条件を与えた.また分担者の中島は有限次元表現のq指標に用いられる単項式の全体に,柏原の意味の結晶の構造を導入し,標準加群が,基本表現のテンソル積であることの新証明を与えた.また量子アファイン展開環の両側セルに関するルスティックの予想の証明を与えた.
3.複素鏡映群に付随したGreen関数の研究 分担者の庄司は,複素鏡映群に付随したホール-リトルウッド関数の2パラメタ版として新しいマクドナルド関数を構成した。
4.有限Chevalley群の既約指標の研究 分担者の庄司は,ルスティック・プログラムのうちでまだギャップの残っている一般Green関数を計算するアルゴリズムに現れるスカラーの決定に関して考察した.特に,一番難しい特殊線形群の場合にこのスカラーを完全に決定した.
5.楕円リー代数、およびそれに付随するアルティン群、ヘッケ代数の研究 分担者の斉藤は,頂点作用素代数の手法を用いて例外型の楕円リー代数の表現を構成し、その指標を計算した.続いて付随するヘッケ代数、アルティン群の構造論の研究を行い,楕円型ヘッケ代数はと二重アファインヘツケ代数の関連に関して成果を得た.
6.p進体上の球等質空間の研究 分担者の加藤は球関数の次元公式,明示公式などをいくつかの場合に求めた.特に対称空間の場合には球関数の一般理論をおおよそ構築した.

Research Products

• [Publications] Y.Morita: "The Radon transform on an exceptional flag manifold"Hiroshima Math. J.. 32(1). 7-15 (2002)
• [Publications] M.Kashiwara: "Parabolic Kazhdan-Lusztig polynomials and Schubert varieties"J. Algebra. 249(2). 306-325 (2002)
• [Publications] C.Marastoni: "Radon transforms for quasi-equivariant D-modules on generalized flag manifolds"Differential geometry and its applications. 18(2). 147-176 (2003)
• [Publications] S.Kato: "Whitakker-Shintani functions for orthogonal groups"Tohoku J. Math.. 55(1). 1-64 (2003)
• [Publications] T.Shoji: "Green functions associated to complex reflection groups, II"J. Algebra. 258(2). 563-598 (2002)
• [Publications] H.Nakajima: "Quiver varieties and t-analogs of q-characters of quantum affine algebras"Ann. of Math.. (in press). (2003)
• [Publications] 谷崎俊之: "リー代数と量子群"共立出版. 267 (2002)