無限次元スーパー・リー環とW代数の表現論及びその数学的応用

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440012
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 脇本 実 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00028218)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山田 美枝子 金沢大学, 理学部, 教授 (70130226) ; 金子 昌信 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70202017) ; 佐藤 榮一 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10112278) ; 田川 裕之 和歌山大学, 教育学部, 助教授 (80283943) ; 落合 啓之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (90214163)
• Keywords: アフィン・リー環 / アフィン・スーパー・リー環 / W代数 / Drinfeld-Sokolov reduction / admissible表現 / スーパー・コンフォーマル代数 / 頂点作用素代数

Research Abstract

無限次元スーパー・リー環の中でも特に重要なクラスは(1)アフィン・スーパー・リー環(2)スーパー・コンフォーマル代数であるが,この両者は構造が著しく異なる。不変内積やWeyl群は,アフィン・スーパー・リー環の表現の研究のために基本的に重要な道具であるが,スーパー・コンフォーマル代数にはこれらが存在しない。そのために,スーパー・コンフォーマル代数の研究は難しく,その表現論を研究する上での有効な数学的な方法や理論は,これまで知られていなかった。
筆者はこの研究課題の研究協力者であるVictor G.Kac教授(マサチューセッツ工科大学)との共同研究により,Drinfeld-Sokolov reductionの量子化を用いてW代数を構成する方法を研究し,大きな進展を得た。すなわち,1.すべてのアフィン・スーパー・リー環とnilpotent元にassociateして,W代数を具体的に構成し,その構造を調べた。
2.すべての(これまでに知られている)スーパー・コンフォーマル代数はW代数として構成される。
3.W代数は,アフィン・スーパー・リー環からスーパー・コンフォーマル代数への"functor"であり,代数系の間の関係を与えるだけでなく,アフィン・スーパー・リー環の表現論をスーパー・コンフォーマル代数の表現論に移す。このfunctorialな関係を利用して,スーパー・コンフォーマル代数の表現論を研究し,自由場表現,指標公式,行列式公式などを導いた。
4.W代数のtwisted versionについても,同種の結果を得た。

Research Products

• [Publications] Minoru Wakimoto: "A topic related to infinite-dimensinal Lie superalgebras"Cubo Mat.Educ. 5. 167-196 (2003)
• [Publications] Victor G.Kac et al.: "Quantum reduction for affine superalgebras"Commun.Math.Phys.. 241. 307-342 (2003)
• [Publications] Victor G.Kac et al.: "Quantum reduction and representation theory of superconformal algebras"Advances in Math.. (in press). (2004)
• [Publications] Masanobu Kaneko et al.: "The kappa function"Internat.J.Math.. 14. 1003-1013 (2003)
• [Publications] Masanobu Kaneko et al.: "On coefficients of Yablonskii-Vorob'ev polynomials"J. Math. Soc. Japan. 55. 985-993 (2003)
• [Publications] Isao Arima et al.: "Generalized (P,ω)-partitions and generating functions for trees"J.Combin.Theory, Ser A. 103. 137-150 (2003)