正則化法の適用による逆問題・非適切問題の解の構成に対する数学解析と数値解析

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440031
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 磯 祐介 京都大学, 大学院・情報学研究科, 教授 (70203065)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田沼 一実 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (60217156) ; 山本 昌宏 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50182647) ; 西村 直志 京都大学, 大学院・工学研究科, 助教授 (90127118) ; 今井 仁司 徳島大学, 工学部, 教授 (80203298) ; 大西 和榮 茨城大学, 理学部, 教授 (20078554)
• Keywords: 非適切問題 / 逆問題 / 正則化法 / Tikhonov正則化法 / Lカーブ法 / 多倍長計算 / 第1種積分方程式 / 弾性方程式

Research Abstract

本研究においては工学や物理と関連した具体的な具体的な逆問題に対し、数学解析による解の一意性・安定性の議論のうえで再構成手法を確立し、その手法に基づく逆問題の解の数値解の構成法を確立することにある。
この目的のため、平成13年度は(1)多倍長数値計算環境の構築と整備、(2)多倍長数値計算環境下における非適切問題の数値解析、(3)多倍長数値計算環境下におけるTikono正則化法の研究-特に最適な正則化パラメータの決定問題、(4)種々の具体的な逆問題の解の構造の数学解析による研究の4点を中心に研究を行い、幾つかの成果を得た。
(1)-(3)の研究では、実用に耐える高速多倍長数値計算環境を構築・整備し、観測誤差が無い場合には多倍長数値計算環境の桁数の制御によって仮想的に丸め誤差の影響を排除する手法を提案した。この結果、解析函数を利用した逆問題の解の幾つかの再構成手法が数値的に実現できることを示した。しかしながら、工学・物理といった応用分野を想定した場合、観測誤差を無視することは非現実的であり、誤差を含んだデータの場合の取り扱いが焦点となった。観測データが誤差を含む場合は、多倍長数値計算環境の単純適用は無意味であることを示し、この環境でのTikhonov正則化法等の正則化法の離散化について論じた。特にTikhonov正則化法の離散化においては、正則化パラーメタの最適選択にかかる従来からの研究(Lカーブ法など)には問題点があることを具体的な数値例で示し、その違いを通常の倍精度環境と多倍長環境との両面から論じて成果を得た。この研究では、逆問題の解の再構成においては、対象とする解に直接関わる先見的情報の数値計算への反映の重要性を指摘した。
(4)の研究では、特に弾性体方程式(定常場、非定常場)に関する逆問題の解の一意性と条件安定安定評価について、幾つかの精密な評価を得た。

Research Products

• [Publications] Y.Iso: "Numerical challenge to ill-posed problems by fast multiple-precision system"Theoretical and Applied Mechanics. 50-6. 419-424 (2001)
• [Publications] Y.Iso: "Numerical computations of ill-conditioned problems by multiple precision system"Proceedings of MSCOM2000. 185-194 (2001)
• [Publications] 西村 直志: "多重極積分方程式法を用いたクラックによる3次元散乱問題の解析"機械学会論文集. A-67. 16-22 (2001)
• [Publications] N.Nishimura: "Application of fast multipole Galerkin boundary integral equation method to elastostatic crack problems in 3D"J.Num.Math.Eng.. 50. 525-547 (2001)