精度保証付き数値計算法の新展開を目ざしての総合的研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440035
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 中尾 充宏 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10136418)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 大石 進一 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20139512) ; 今井 仁司 徳島大学, 工学部, 教授 (80203298) ; 磯 祐介 京都大学, 大学院・情報学研究科, 教授 (70203065) ; 山本 哲朗 早稲田大学, 理工学部, 教授 (80034560) ; 西田 孝明 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70026110)
• Keywords: 数値解析 / 精度保証付き数値計算法 / 解の数値的検証 / 計算機援用証明

Research Abstract

本年度は昨年度に引き続き、個別の問題によらない共通的精度保証方式の開発およぴ従来方式の拡張・改良をはかるとともに、流体力学や振動問題などの具体的問題に依存した応用解析学上の問題に対する、計算機援用証明を行った。また、精度保証に関連する数値解析技法の検討を行った。主な研究実績は以下の通りである。
・共通的精度保証方式
(1)楕円型境界値問題の解の数値的検証に関し従来方式の拡張改良として以下の成果を得た。
(i)微分項を含む方程式に対する解の検証において、有限次元部分の計算法の効率化を行い検証対象の拡大を計ることに成功した(中尾、渡部)
(ii)重複または近接固有値をもつ楕円型固有値問題の精度保証を実現した(中尾、渡部)
(iii)double turning pointの検証定式化とそのperturbed Gelfand方程式への適用を行った(皆本)
(2)周期解を持つDuffingタイプの非線形発展方程式の分岐点自体の存在に対する検証を定式化し、その具体的検証例を与えた(川中子)
(3)第2種変分不等式の解に対する数値的検証方式を定式化し、その具体例を与えた(中尾)
(4)非線形方程式、連立一次方程式の解の高速精度保証のアルゴリズムを検討し、その効率化を行った(大石、陳、藤野、奥村)
(5)有限要素解の近似能力を精度保証付きで検証するために、任意メッシュ上での最良a priori誤差評価定数の精度保証付き計算法について検討した(山本野人)
(6)高精度多倍長演算方式の検討とその具体的応用例を与えた(今井、磯)
(7)adaptiveなメッシュによる差分解法の収束性について検討し2点境界値問題の特異解に対する適用性に対する知見を得た(山本哲朗)
・個別問題に対する精度保証に関する研究
(1)理論的証明の困難な熱対流問題の分岐解に対し計算機援用方法による数値的証明を行った(中尾、西田、渡部)
(2)Kolmogorov問題について計算機援用証明を行いaspect比と安定性の関係に対する知見を得た(長藤)
3)Orr-Sommerfeld方程式の固有値問題の精度保証により不安定解の存在を数値的に検証した(中尾、渡部)

Research Products

• [Publications] Ryoo, C-S: "Numerical verification of solutions for variational inequalities of the Second Kind, Computer and Mathematics with Applications"Computer and Mathematics with Applications. 3. 1371-1380 (2002)
• [Publications] Toyonaga, K.: "Verified numerical computations for multiple or nearly multiple eigenvalues for elliptic operators"Journal of Computational and Applied Mathematics. 147. 175-190 (2002)
• [Publications] Nagatou, K.: "Verified numerical computations for eigenvalues of non-commutative harmonic oscillators"Numerical Functional Analysis and Optimization. 23. 633-650 (2002)
• [Publications] Watanabe, Y.: "A Numerical Verification of Nontrivial Solutions for the Heat Convection Problem"Journal of Mathematical Fluid Mechanics. 5. 1-20 (2003)
• [Publications] Nakao, M.T.: "Some computer assisted proofs for solutions of the heat convection problems"Reliable Computing. (掲載決定). (2003)
• [Publications] Yamamoto, T.: "Convergence of consistent and inconsistent finite difference schemes and an acceleration technique"Journal of Computational and Applied Mathematics. 140. 849-866 (2002)