複素力学系の解析的研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440047
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 谷口 雅彦 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50108974)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 國府 寛司 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50202057) ; 松崎 克彦 お茶の水女子大学, 理学部, 助教授 (80222298) ; 志賀 啓成 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (10154189) ; 木坂 正史 京都大学, 大学院・人間環境学研究科, 助教授 (70244671)
• Keywords: 複素力学系 / クライン群 / 整函数

Research Abstract

平成13年度においては代表者谷口雅彦は、複素力学系において研究の未成熟な分野である整函数の反復合成による力学系に焦点を当て、被覆理論的に単純な構造を持つものとして構造有限整函数の族を定義し、その特性の解明を進めた。特に具体的な表現定理を得たが、さらにその表現空間が唯一自然なものであることを証明した。特にその帰結として、構造有限な整函数は力学系としての一様性を持つことも明らかにできた。具体的には任意の構造有限な超越整函数は常にハウスドルフ次元2のジュリア集合を持つことが証明できた。また木坂正史によっても構造有限な整函数の力学系的性質がいくつか明らかになっている。さらに一般の力学系についての成果も国府寛司により精力的に明らかにされた。一方、双曲的整函数についてはやはりジュリア集合は面積0であることも分かるので、構造有限整函数の場合にはジュリア集合の爆裂と縮退がその自然な表現空間内で共に生じるという豊穣性を示すものであり、今後の研究が期待される。次に、上記の成果の証明には組み合わせ的手法が用いられている。これはサリバンの辞書(クライン群論との対照表的手法)の立場からは幾何学的群論の対応物と考えられ、解析的構造への付加低位構造として複素解析的手法を適応する上での基盤となるものである。いわばモデュライ空間に対するタイヒミュラー空間論に匹敵する理論の構築を可能にするものである。上記のサリバンの辞書の立場から、クライン群の研究も松崎克彦らにより進められ、クライン群の極限集合についての幾何学的測度論に関しても重要な成果を得ることができた。最後に複素解析的手法の面での基礎的研究も志賀啓成らにより推進され、正則族や平面領域に関して数多くの幾何学的函数論的成果を得た。

Research Products

• [Publications] M.Taniguchi: "Explicit representation of structurally fuite eutire functions"Proc. Japan Acad (Ser A.). 77-4. 68-70 (2001)
• [Publications] M.Taniguchi: "Synthetic deformation space of an entire function"Contemporary Math. AMS.. (to appear).
• [Publications] H.Shiga: "On holomorphic families of rational maps : Finiteness, Rigidity and Stability"Kodai Math. J.. 24. 48-65 (2001)
• [Publications] K.Matsuzaki: "Dynamics of Klennan groups-the Hausdorff dimension of the limit sets"Selected papers on classical analysis. 204. 23-44 (2001)
• [Publications] K.Matsuzaki: "Simply connected domains on a hyperbolic surface"Zew Zealand J. Math. (to appear).
• [Publications] A.J.Homburg: "Holoclinic-doubling cascades"Archeiv for Rationd Mechanics and Analysis. 160. 195-243 (2001)
• [Publications] 谷口雅彦: "もう一つの函数論入門"京都大学出版会. 249 (2002)