非線形波動方程式の外部問題

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440049
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 中尾 愼宏 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (10037278)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小川 卓克 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (20224107) ; 柴田 良弘 早稲田大学, 理工学部, 教授 (50114088) ; 川島 秀一 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70144631)
• Keywords: エネルギー減衰 / 局在非線形的摩擦項 / 時間大域解 / 波動方程式 / 外部問題 / 周期解

Research Abstract

代表者中尾は局在的非線形摩擦項をもつ波動方程式及びキルヒホッフ型の準線形波動方程式のエネルギー減衰およびこれらを利用した大域解の存在について考察し、成果を得た。
これらはいずれも、線形摩擦項の場合には領域の形状に制限を設けた上でいくつかの研究がなされており、さらにごく最近の代表者の研究により、一般の領域に対して示されていたものであるが、これらの結果を(1)波動方程式については「半分線形強摩擦項」の場合に、(2)キルヒホッフ型については「弱非線形摩擦項」の場合に拡張したものである。
上記の方程式の境界条件としては斉次デイリクレ条件が課されているが、これをノイマン境界条件下で考察することは興味深く、数学的には超局所解析を退けることは出来ないという意味で大変困難な問題である。代表者はさらに、領域の一部がノイマン型摩擦条件の場合に線形波動方程式のエネルギー減衰評価を導くことに成功した。
関連した問題とし、て有界領域における非線形波動方程式で局所的な摩擦項を含む場合の大域解の存在及び周期解の存在に関して昨年度から始めていた研究をまとめることが出来た。
分担者川島は半空間における粘性的非線形保存則のインフロウ、アウトフロウ問題を考察し、大域解の存在とその漸近挙動について詳しい結果を得た。
分担者柴田はナビエ・ストークス方程式の外部問題を考察し、付随するストークス作用素の精密なスペクトル解析をとおして、大域解の存在と安定性について多くの興味深い結果を得た。
分担者小川は実解析的手法に基づき、非線形シュレヂンガー方程や線形摩擦項をもつ波動方程式の全空間問題について解の精密な評価を与えた。さらに、平均曲率流の熱伝解による近似に関して新しい結果を得た。研究協力者として伊藤一男(数理学研究院)は平均曲率流の自由境界値問題を考察し、解の境界付近の挙動についてさまざまな興味深い結果を得た。

Research Products

• [Publications] Mitsuhiro Nakao: "Existence of global solutions to the Cauchy problem of Kirchhoff type quasilinear wave equation with weakly nonlinear dissipation"Funkcialaj Ekvacioj. 45・3. 387-395 (2002)
• [Publications] Mitsuhiro Nakao: "On global smooth solutions to the initial boundary value problem for the quasilinear wave equation in the exterior domains"J. Mathematical Society Japan. (to appear).
• [Publications] Mitsuhiro Nakao: "Global and periodic solutions for the nonlinear wave equation with a localized nonlinear dissipation"J. Differential Equations. (to appear).