無限グラフの熱核、グリーン核の大域解析

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13440051
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 浦川 肇 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (50022679)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 有澤 真理子 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (50312632) ; 金子 誠 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10007172) ; 麻生 透 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (00111352) ; 尾畑 伸明 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10169360) ; 大野 芳希 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (80005777)
• Keywords: ヤング・ミズル接続 / ワイル接続 / 無限グラフ / シンプレクティック多様体 / グリーン核 / モデュライ空間 / チーガー定数 / 熱核

Research Abstract

グラフ上の大域解析の展開のために、先ず初めに、コンパクト・シンプレクティック多様体上のヤング・ミルズ接続の理論の研究を行った。この結果、コンパクト・ケーラー多様体上のヤング・ミルズ理論がうまくシンプレクティック多様体上の場合に拡張することができ、ヤング・ミルズ接続のモデュライ空間の有限次元性、ヤング・ミルズ汎関数の最小値を与える接続の特徴付けを行うことが出来た。
次にヤング・ミルズ接続理論をワイル構造に拡張することにより、4次元コンパクト・リーマン多様体上におけるAtiyah-Hitchin-Singer理論をワイル多様体の場合に拡張し、ヤング・ミルズ汎関数の最小値の特徴付けをこの場合に行うことが出来た。更に非コンパクトな多様体上のアファイン接続理論の場合においても、ヤング・ミルズ理論を展開することが可能になり、2次超曲面をヤング・ミルズ接続を使って特徴づけるという結果を得た。このような理論のグラフ理論版は興味深い今後の問題として考えられる。
最後に、無限グラフに対する大域解析の研究を行い、無限グラフのチーガー定数、熱核、グリーン核を一般的に評価する方法を与え、それによって無限グラフの詳細な構造を研究することが出来、体積増大度、次数増大度とチーガー定数、熱核、グリーン核との関係を示すことが出来た。特に、標準的な準正則無限グラフのチーガー定数、熱核、グリーン核と一般の無限グラフのそれらと比較する比較定理を得ることが出来た。

Research Products

• [Publications] H.Urakawa: "Yang-Mills theory over compact symplectic manifolds"Annals Global Analysis Geometry. (印刷中). 1-38 (2004)
• [Publications] H.Urakawa: "The heat kernel and the Green kernel of an infinite graph"Contemporary Mathematics, Amer.Math.Soc.. (印刷中). (2004)
• [Publications] H.Urakawa: "The Dirichlet eigenvalue problem, the finite element method and graph theory"Contemporary Mathematics, Amer.Math.Soc.. (印刷中). (2004)
• [Publications] H.Urakawa: "The Cheeger constant, the heat kernel and the Green kernel of an infinite graph"Monatshefte fur Mathematics. 138. 225-237 (2003)
• [Publications] H.Urakawa: "Yang-Mills theory and conjugate connections"Differential Geometry and Its Applications. 18. 229-238 (2003)
• [Publications] H.Urakawa: "Discrete improper affine spheres"J.Geometry and Physics. 45. 164-183 (2003)