群準同型の個数の母関数及び群の部分群束の研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640004
• Research Institution: MURORAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
• Principal Investigator: 竹ケ原 裕元 室蘭工業大学, 工学部, 助教授 (10211351)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 千吉良 直紀 室蘭工業大学, 工学部, 助教授 (40292073) ; 佐藤 元彦 室蘭工業大学, 工学部, 助教授 (30254139)
• Keywords: アーベル群 / 対称群 / 置換表現 / p進的性質 / 母関数 / 斜準同型 / exceptional群 / 準同型

Research Abstract

平成14年度は、以下の2項目の研究をおこなった。
1.有限アーベルp群の置換表現の個数に関して、そのp進的性質が得られた。その個数を割り切る素数べきに関する結果等は知られていたが、得られたp進的性質からは、これまで知られていた事実がより詳しくわかるようになった。巡回p群の置換表現の個数に関しては、K. Conrad氏が母関数とArtin-Hasse expnentialと呼ばれるp進解析関数との関係を調べる方法で示していた。今年度の研究では、巡回p群2つの直積について、置換表現の個数に関する母関数を利用することにより、置換表現の個数のp進的性質が得られた。鍵となる結果として、巡回p群2つの直積の場合における置換表現の個数の母関数が、Artin-Hasse expnentialのような性質をもつp進解析関数を用いて表わされるということを示した。さらに、巡回p群2つの直積の場合における結果は、一般の有限アーベルp群における置換表現の個数について拡張された。それは、一般的な場合において、母関数のうまい分割がp進的性質を保つ形をしていることにより得られた。この研究のため、整数論関連図書費、研究打ち合わせ旅費として、補助金を使用した。
2.次に、2つの巡回群の直積AからAが作用するexceptional群(2面体群、一般四元数群、準2面体群)Gのそれぞれへの斜準同型の個数が、Aの位数とGの位数との最大公約数で割り切れることが、淺井恒信、庭崎隆両氏との共同研究で得られた。これにより、一般に「巡回p群と位数p^2の巡回群との直積AからAが作用する任意のp群Gへの斜準同型の個数が、Aの位数とGの位数との最大公約数で割り切れる」ということの証明が少し進んだ。この性質は、有限群の間の準同型の個数に関する結果と関連していて、pが奇素数の場合にはすでの証明されているが、p=2の場合にはまだ未解決である。p=2の場合には、Gがexceptional群の場合の結果が重要な役割を果たすと考えられている。証明はまだ完成していないが、大筋はほぼ出来上がっていて、現在、少し細部を確認する段階である。この研究のため、研究打ち合わせ旅費として、補助金を使用した。

Research Products

• [Publications] T.Asai, T.Niwasaki, Y.Takegahara: "On the number of cocycles for groups"RIMS Kokyuroku, Cohomology theory of finite groups and related topics (Kyoto, 2001). No.1251. 70-82 (2000)