d-complete poset の指標型公式に関する対称関数を使った研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640022
• Research Institution: Tottori University
• Principal Investigator: 石川 雅雄 鳥取大学, 教育地域科学部, 助教授 (40243373)
• Keywords: plane partitions / combinatorics / Pfaffians / poset / generating function

Research Abstract

d-complete posetsについて、その母関数は積公式を持つことが明らかになった。d-complete posetsについては15種類の既約なposetがある。これらについて、本研究では母関数のある種の多変数化が考えられ、それについても積公式が可能であることが明らかになりつつある。また、本研究によってrim-hook tableauxについても同様の公式が成り立つことが期待されるがまだ証明が成されていない。またd-complete posetsの第1種の既約成分の母関数は普通のplane partition,また第2種の既約成分はshifted plane partitionの特別な場合と考えられる。したがって、これらの一般的は母関数はplane partitionの一般化と考えられる。すなわちlattice path methodを使ってd-complete posetから非負整数へのorder preserving mapping全体をlattice pathに直したときに、その高さを有限に制限したものが一般のplane partitionの拡張と考えられる。これらの母関数は積公式を持たないように見えるが、このときqに1や-1のような整数を代入したものは非常に小さい整数に素因数分解されることが観測される。このことからも興味深い公式の存在が期待される。これらの公式の証明や母関数の計算はlattice path methodによってlattice pathに読み替え行列式の和やPfaffianによって母関数を表わす。行列式の和は多くの場合に1つの行列式かPfaffianで表わすことが可能で、これらの行列式やPfaffianは古典的な行列式の拡張になっており興味深い。これらの行列式を計算する方法もまた興味深い。