| Research Abstract |
1.全順序モノイドG上の半群環RGの構造を考察し,その結果,RGがquasi-Baer環,すなわち,任意の左イデアルの左零化イデアルが冪等元で生成されるような環,になるための必要十分条件はRがquasi-Baer環になることであることを示した。このことから,特にRが冪零元をもたないBaer環であれば,RGもBaer環になることがわかる。また,自由群やトーション・フリー冪零群の部分モノイドGに対して,Rがquasi-Baerであれば,RGもそうであることもわかる。
2.環R上の多項式環R[x]の任意の元f(x), g(x)がf(x)g(x)=0となることとf(x)の任意の係数とg(x)のそれとの積が常に0であることが同値であるとき,RはArmendarizであるという。そこで,まず,環RがArmendarizであるということがRの左(右)零化イデアルと多項式環の左(右)零化イデアルの間に自然な対応がつくという条件を満たすことと同値である示した。このことから,あたえられた全順序モノイドGと環Rに対して,自然に,G-(quasi-)Armendarizなる概念を導入することができることを示した。Rが環,Gが全順序モノイドであるとき,Rの任意の元aに対して,Raの左零化イデアルがpureであることと,RGが同じ性質を持つことが同値である事を示し,更に,このとき,RがG-quasi-Armendariz環になることを示した。また,G-(quasi-)Armendarizという性質がいくつかの環拡大に対して保たれることを示した。また,可換環に対するGaussianという性質を拡張し,G-Gaussianなる概念を導入し,その性質を調べた。
3.Iを環Rのイデアルとするとき,任意の右R-加群Mに対して,Iで零化される部分加群がMの直和因子になるとき,P(I)はsplittingであるという。なP(I)がsplittingであるようなイデアルIの性質を考察した。特に,R/Iが左R-加群として平坦で,R/Iが半単純環になるならば,イデアルIはそのような性質を持つことを示した。また,任意の剰余環の冪等元が中心的であるような環,従って,特に,可換環,に対しては,P(I)がsplittingであるようなイデアルIの特徴付けを与える事が出来た。また,極端な場合として,全てのイデアルIに対して,P(I)がsplittingであるよう環Rの構造を,OsofskyとSmithのCS加群の結果を使うことによって,決定することが出来た。
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