有限群の表現論

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640038
• Research Institution: Osaka City University
• Principal Investigator: 河田 成人 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50195103)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 浅芝 秀人 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70175165) ; 住岡 武 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90047366) ; 津島 行男 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80047240) ; 加戸 次郎 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 講師 (10117939)
• Keywords: 有限群 / 表現論 / 多元環 / 群環 / Auslander-Reiten列

Research Abstract

有限群の表現論を研究するにあたって,正標数の体上の表現(以下でモジュラー表現という)と標数0の体上の通常表現を並行して考察することは大変有効であり,さらにこれらのモジュラー表現と通常表現を機能的に結び付けるものとして完備離散付値環上の表現(以下では整数表現とよぶ)が重要な位置を占める.近年,アルティン環の表現論においてAuslander-Reitenの理論が駆使されている.この理論ではいわゆるAuslander-Reiten有向グラフ(以下ではARグラフという)とよばれるグラフが重要な研究対象となっている.ARグラフとは直既約加群の同型類を点に,既約写像を矢とみなして得られるグラフのことである.本研究ではこの理論の有限群の表現への応用を図り,その有効性を探ることを目標としてきた.特にErdmannによってモジュラー表現における重要な結果として,群環がwild型ならば,ARグラフの形状はZA_∞か半無限の筒型であるという事実が得られたが,それを基礎として研究を行った.そして有限群の表現において注視すべき加群,例えば既約加群や射影加群を含むARグラフの連結成分について次のような結果を得た.
・リー型の有限群のモジュラー表現について考察し,単純加群はARグラフの端に位置することを示した.
・整数表現において,既約加群とは,それが与える通常指標が既約であるときをいう.この既約加群が絶対既約ならば,ARグラフのなかで端に位置することを証明した.
・位数が素数巾の有限群の整数表現において,ARグラフの連結成分で射影加群を含むものの形状はZA_∞であることを見いだした.またごく少数の例外を除いて,射影加群はそのARグラフの端に位置することもわかった.

Research Products

• [Publications] Shigeto Kawata: "On Auslander-Reiten components projective lattices of p-groups"Osaka J.Math.. 38・3. 487-499 (2001)
• [Publications] A.Jones, S.Kawata, G.Michler: "On exponents and Auslander-Reiten components of irreducible lattices"Arch.Math. 76・2. 91-94 (2001)
• [Publications] S.kawata, G.Michler, K.Uno: "On Auslander-Reiten components and simple modules for finite groups of Lie type"Osaka J.Math.. 38・1. 21-26 (2001)
• [Publications] Yukio Tsushima: "On some simple constituents of Specht modules of the symmetric groups"J.Algebra. 243・1. 131-141 (2001)
• [Publications] J.kado, Y.Kutami, K.Oshiro: "CS-property of direct sums of uniform modules"International Symposium on Ring Theory. 149-159 (2001)