有限群の表現論

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640038
• Research Institution: Osaka City University
• Principal Investigator: 河田 成人 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50195103)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 浅芝 秀人 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70175165) ; 住岡 武 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90047366) ; 津島 行男 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80047240) ; 加戸 次郎 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 講師 (10117939)
• Keywords: 有限群 / 表現論 / Auslander-Reitenグラフ / 群環 / 多元環 / Auslander-Reiten列 / 整数表現 / 直既約加群

Research Abstract

アルティン環の表現論において有力なAuslander-Reitenの理論を,有限群の表現論の研究に応用しようと目論みつつ研究を進めてきた.特に,完備離散付値環上の表現(以下では整数表現とよぶ)に注目し,そのAuslander-Reiten列に関して考察した.まず正標数の体上の置換表現の直既約因子Tを完備離散付値環上の表現と見て,その射影被覆の核となっている(完備離散付値環上の)加群Z,およびこの加群ZにまつわるAuslander-Reiten列について詳しく調べることにより,Zが直既約であることや,ZのヴァーテックスとTのヴァーテックスとが等しくなることを確認した.(ここでヴァーテックスとは,有限群の直既約な表現加群に付随して定義される部分群のことであって,表現加群を部分群と関係付けて研究する際に基本となる概念である.)さらに,有限群の整数表現におけるあるクラスのAuslander-Reiten列を簡約化すると,正標数の体上のモジュラー表現におけるAuslander-Reiten列が現出することが見い出された.この結果は整数表現とモジュラー表現を有機的に結びつけるための有効な手段を探求していく上で重要になると期待される.
また,分担者の津島行男は,対称群の表現論の深い理論を応用することによって,対称群のヘッケ環におけるブロック分解に関する興味深い結果を導いた.
ところで,加群の射影性と入射性が同値となる多元環は自己入射的と呼ばれ,群環はそのなかでも注目されている具体例である.分担者の住岡武は,加群の"対"の概念を用いて入射性についての研究を押し進めた.また分担者の浅芝秀人は,一般の有限次元多元環において,直既約加群の同型類を基底とする自由アーベル群がなす整ホール代数について考察し,リー代数との関連性を追求した.

Research Products

• [Publications] Yukio Tsushima: "On some SR(H)-blocks for the symmetric groups"Journal of Algebra. 270. 281-287 (2003)
• [Publications] Takeshi Sumioka, Takashi Tokashiki: "On simple-injective modules"Mathematical Journal of Okayama University. 発表予定.
• [Publications] Hideto Asashiba: "On a lift of an individual stable equivalence to a standard derived equivalence for representation-finite self-injective algebras"Algebras and Representation Theory. 6. 427-447 (2003)
• [Publications] Hideto Asashiba: "Realization of general and special linear algebras via Hall algebras, in Proceedings"Proceedings of International Conference on Representations of Algebras X held at Toronto 2002. 発表予定.