2001 Fiscal Year Annual Research Report
ゼータ関数の高階導関数の特殊値:ゼータ正規化の視点から
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13640041
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
桂田 昌紀 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (90224485)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
光 道隆 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (30056296)
西岡 久美子 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (80144632)
塩川 宇賢 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (00015835)
戸瀬 信之 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (00183492)
渡部 睦夫 慶應義塾大学, 商学部, 教授 (30080493)
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| Keywords | ゼータ関数 / 高階導関数 / 特殊値 / 漸近展開 / メリン変換 |
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| Research Abstract |
1.ゼータ関数の高階導関数の漸近展開
以下,sを複素変数,α,λを実数パラメタとし,α>0とする.本研究計画調書三頁に述べたHurwitzゼータ関数ζ(s,α)の高階導関数の特殊値の漸近展開に関しては,ζ(s,α)を特殊な場合とするLerchゼータ関数φ(λ,α,s)について,φ(λ,α+z, s)のz→∞(|argz|<π)における漸近展開を導き,これを計画調書三頁(1)で定義した関数R_<k,m>(z)より一般なR_<k,m>(λ,z)=(-1)^<k+1>(∂/∂s)^κφ(λ,z, s)|_s=-mの研究に応用した.ここでの成果として,R_<k,m>(λ,z)のTaylor展開公式・Gauβ型公式・Weierstraβ型公式・Plana型公式を証明することが出来た.結果は"Power series and asymptotic series associated with the Lerch zeta-function : applications to higher derivatives"として纏められ,現在欧文学術雑誌に投稿準備中である.
2.q超幾何学関数の漸近展開
以下qを|q|<1をみたす複素パラメタとする.RamanujanはHardyに宛てた最後の手紙の中で,ある種の擬テータ級数のq→1における漸近公式を示している.本研究の主要な手法であるMellin-Barnes型積分表示の応用により,本研究代表者は,これらRamanujanの漸近公式を最良な形に決定するとともに,より一般なq超幾何関数のq→1における漸近展開に関して,種々の結果を得ることが出来た.その成果は"Asymptotic expansions for certain q-series and a formula of Ramanujan for specific values of the Riemann zeta-function"として纏められ,現在欧文学術雑誌に投稿中である.
3.一般化されたTschakaloff級数の特殊値
標記の研究成果は"Irrationality results for values of generalized Tschakaloff series"(群馬大学・天羽雅昭氏との共著)として纏められ,現在欧文学術雑誌に投稿準備中である.
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Research Products
(6 results)
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[Publications] M.Katsurada: "On an asymptotic formula of Ramanujan for a certain theta-type 1 series"Acta Arithmetica. 97. 157-172 (2001)
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[Publications] M.Amou: "Arithmetical properties of the values of functions satisfying certain functional equations of Poincare"Acta Arithmetica. 99. 389-407 (2001)
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[Publications] M.Amou: "Differntial transcendence of a class of generalized Dirichlet series"Illinois Journal of Mathematics. 45. 939-948 (2001)
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[Publications] M.Amou: "On the values of certain q-hypergeometric series"in "Number Theory"deGruyten Berlin. proc.. 5-17 (2001)
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[Publications] M.Amou: "On the values of certain q-hypergeometric series II"in "Analytic Number Theory, "Kluwer, Doydrecht. proc.(掲載予定).
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[Publications] M.Katsurada: "Explieit formulas and asymptotic expansions for certain mean square of Hurwits zeta-functions"Compositio Mathematica. (掲載予定).
