ゼータ関数の高階導関数の特殊値:ゼータ正規化の視点から

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640041
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: 桂田 昌紀 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (90224485)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 光 道隆 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (30056296) ; 西岡 久美子 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (80144632) ; 塩川 宇賢 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (00015835) ; 戸瀬 信之 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (00183492) ; 渡部 睦夫 慶應義塾大学, 商学部, 教授 (30080493)
• Keywords: ゼータ関数

Research Abstract

1.ゼータ関数の多重二乗平均
以下,mを正の整数,sを複素変数,a,λを実数パラメタとし,a>0とする.研究計画調書三頁に述べたHurwitzゼータ関数ζ(s, a)を特殊な場合とするLerchゼータ関数φ(s, a, λ)について,研究代表者は,その多重二乗平均∫^1_0・・・∫^1_0|φ(s, a+x_1+・・・+x_m,λ)|^2dx_1・・・dx_mのIms→±∞における完全漸近展開を導いた.結果は"Asymptotic expansions of a multiple mean square of Lerch zeta-functions"として纏められ,現在欧文学術雑誌に投稿中である.
2.q超幾何型関数の漸近展開
以下qを|q|<1をみたす複素パラメタとする.RamanujanはHardyに宛てた最後の手紙の中で,ある種の擬テータ級数のq→1における漸近公式を示している.本研究の主要な手法であるMellin-Barnes型積分表示の応用により,研究代表者は,これらRamanujanの漸近公式を最良な形に決定するとともに,より一般なq超幾何関数のq→1における漸近展開に関して,種々の結果を得ることが出来た.その成果は"Asymptotic expansions for certain q-series and a formula of Ramanujan for specific values of the Riemann zeta-function"として纏められ,現在欧文学術雄誌に掲載予定である.
3.一般化されたTschakaloff級数の特殊値
標記の研究成果は"Irrationality results for values of generalized Tschakaloff series II"(群馬大学・天羽雅昭氏との共著)として纏められ,現在欧文学術雑誌に掲載予定である.

Research Products

• [Publications] M.Amou: "On the values of certain q-hypergeometric series II"in Analytic Number Theory, Kluver, Dev. Math.. 6. 17-25 (2002)
• [Publications] M.Amou: "Irrationality results for values of generalized Tschakaloff series II"Journal of Number Theory. (掲載予定).
• [Publications] M.Katsurada: "Explicit formulas and asymptatic expansions for certain mean square of Huraita zeta-function III"Compositio Mathematica. 131. 236-266 (2002)
• [Publications] M.Katsurada: "Asymptotic expansions of certain q-series and a formula of Ramanujan for specific values of the Riemann zeta-function"Acta Arithmetica. (掲載予定).