ゼータ関数の高階導関数の特殊値:ゼータ正規化の視点から

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640041
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: 桂田 昌紀 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (90224485)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 光 道隆 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (30056296) ; 西岡 久美子 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (80144632) ; 塩川 宇賢 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (00015835) ; 戸瀬 信之 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (00183492) ; 渡部 睦夫 慶應義塾大学, 商学部, 教授 (30080493)
• Keywords: ゼータ関数 / 高階導関数 / 特殊値 / 漸近展開

Research Abstract

1.Lerchゼータ関数の多重二乗平均
以下s=σ+itを複素変数,x,λを実数パラメタでx>0とし,ζ(s,x)で級数Σ^∞_<n=0>(n+x)^<-s>を全s平面上の有理型関数に接続して得られるHurwitzゼータ関数を表すとき,ζ(s,1+x)はRiemannゼータ関数ζ(s)=ζ(s,1)の各項をxだけfluctuateさせたものとみなせる.研究代表者は以前,Hurwitzゼータ関数より一般のLerchゼータ関数φ(s,x,λ)に対し,そのパラメタxに関する二乗平均∫^1_0|φ(s,a+x,λ)|^2dx(a>0は任意定数)のt=Ims→±∞における完全漸近展開を導いた([Collect.Math.48(1997)])が,最近これを統計的な観点から一般化し,多重平均∫^1_0【triple bond】∫^1_0|φ(s,a+x_1+【triple bond】+x_m,λ)|^2dx_1【triple bond】dx_m(m=1,2,...)についても同様の完全漸近展開が存在することを証明した.結果は論文"An application of Mellin-Barnes type of integrals to the mean square of Lerch zeta-function II"として纏められ,現在欧文学術雑誌に投稿中である.
2.Epsteinゼータ関数の積分変換
z=x+iyを複素上半平面のパラメタとするとき,(u,v)の正値二次形式Q(u,v)=|u+vz|^2に対応し,そのEpsteinゼータ関数ζ_<z^2>(s;z)が,ζ_<z^2>(s;z)=Σ^</∞>_<m,n=-∞>Q(m,n)^<-s>(m=n=0となる項を除く)およびその全s平面上の有理型関数への接続として定義され,(整数論的)二次形式の研究に重要な役割を果たしている.研究代表者は最近,ζ_<z^2>(s;z)及びその(Poisson分布型重み付平均ともみなせる)Laplace-Mellin変換に対し,それらのy=Imz→+∞における完全漸近展開を導いた.結果は論文"Complete asymptotic expansions associated with the Epstein zeta-function"として纏められ,現在欧文学術雑誌に投稿中である.
以上

Research Products

• [Publications] Katsurada, M.: "Asymptotic expansions of certain q-series and a formula for specific values of the Riemann zeta-function"Acta Arithmetica. 107・3. 269-298 (2003)
• [Publications] Katsurada, M.: "Complete asymptotic expansions associated with the Epstein zeta-functions"日本数学会代数学分科会講演アブストラクト. 総合分科会. 40-41 (2003)
• [Publications] Katsurada, M.: "Complete asymptotic expansions associated with the Epstein zeta-functions II"日本数学会代数学分科会講演アブストラクト. 年会(掲載予定). (2004)
• [Publications] Amou, M.: "Irrationality results for values of generalized Tschakaloff series II"Journal of Number Theory. 104. 132-153 (2004)