純粋包・準純粋包をもつ部分群の研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640053
• Research Institution: Toba National College of Maritime Technology
• Principal Investigator: 奥山 京 鳥羽商船高等専門学校, 一般教育, 助教授 (20177190)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 佐波 学 鳥羽商船高等専門学校, 一般教育, 講師 (10226029) ; 名城 紘昭 鳥羽商船高等専門学校, 一般教育, 教授 (40043252)
• Keywords: 純粋包をもつ部分群 / 純粋包 / p-overhang set / 準純粋包をもつ部分群 / 準純粋包 / 高度行列 / empty-p-overhang set部分群 / 最大ねじれ部分群 / T高部分群

Research Abstract

一般のアーベル群において、ねじれのない部分群(Torsion-Free部分群)が純粋包・準純粋包をもつための必要十分条件を求めるのが本研究の目的である。純粋包をもつ部分群の特徴付けは、アーベル群論の1917年以来の懸案であった「アーベル群が分解する(最大ねじれ部分群とねじれのない部分群の直和となる)ための必要十分条件を求める問題」に解答を与えるので、非常に重要な研究であるといえる。また、準純粋包をもつ部分群の研究は、ADE群・ADE分解群などの一般のアーベル群の研究に役立つものである。
そこで、本年の研究実施計画に従って研究を行い、次のような成果を得た。
(1)トーションフリー名階数1のねじれのない部分群が、純粋包をもつための必要十分条件を与えた。したがって、トーションフリー名階数1の一般のアーベル群が分解するための必要十分条件を与えた。なお、これは先人の結果の別証明である。
(2)ねじれのない部分群が純粋包をもつとき、そのすべての純粋包は同型であることを証明した。
(3)トーションフリー名階数1のねじれのない部分群が、準純粋包をもつための必要十分条件を与えた。この結果を使うと、ある条件をもった一般のアーベル群のねじれのない元の高度行列を求めることができることを示した。
来年度は、階数有限、あるいは階数加算のねじれのない部分群が純粋包・準純粋包をもつための必要十分条件をもとめたいと考えている。

Research Products

• [Publications] 奥山 京: "On Kernels of Purifiability in Arbitrary Abelian Groups"Hokkaido Mathematical Journal. 30巻1号. 177-194 (2001)
• [Publications] 奥山 京: "On Purifiable Torsion-Free Rank-One Subgroups"Hokkaido Mathematical Journal. 30巻2号. 373-404 (2001)
• [Publications] 奥山 京: "On Isomorphy of Pure Hulls of Purifiable Torsion-Free Subgroups"Hokkaido Mathematical Journal. 30巻3号. 671-677 (2001)
• [Publications] 奥山 京: "On Locally Cyclic Abelian Groups of Torsion-Free Rank 1"Kyushu Journal of Mathematics. 55巻2号. 301-320 (2001)