純粋包・準純粋包をもつ部分群の研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640053
• Research Institution: TOBA NATIONAL COLLEGE OF MARITIME TECHNOLOGY
• Principal Investigator: 奥山 京 鳥羽商船高等専門学校, 助教授 (20177190)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 佐波 学 鳥羽商船高等専門学校, 講師 (10226029) ; 名城 宏昭 鳥羽商船高等専門学校, 教授 (40043252)
• Keywords: 純粋包をもつ部分群 / 準純粋包をもつ部分群 / pオーバーハング集合 / 最大トーション部分群 / トーションフリー部分群 / T高部分群 / 高度行列 / トーションフリーランク

Research Abstract

一般のアーベル群Gにおいて、部分群Aを含む極小な純粋部分群が存在するとき、部分群Aは純粋包をもつという。一般的には、任意の部分群は必ずしも純粋包をもたない。そこで、「いかなる部分群Aが群Gの中で純粋包をもつか」という問題が提起される。本研究の出発点はこの問題にある。本研究では部分群Aをトーションフリーに限定して考察した。その結果次のような成果を得た。
(1)部分群Aがトーションフリーでランクが有限のとき、純粋包をもつための必要十分条件を得る。
(2)部分群Aがトーションフリーで純粋包をもつとき、Aのすべての純粋包は同型であることを証明。
上記(1)の結果はアーベル群の分解問題に適用できる。分解問題とは、「一般のアーベル群が最大トーション部分群とトーションフリー部分群の直和に分解するのはいかなるときか」という問題である。この分解問題に対して、「群Gがトーションフリーランク有限のとき、群Gが分解するための必要十分条件」を得た。
準純粋包をもつ部分群に対しても、「いかなる部分群Aが群Gの中で準純粋包をもつか」という問題が提起でき、この問題に対して、「部分群Aがトーションフリーランク1のとき、準純粋包をもつための必要十分条件」を得た。この結果は、群Gにおけるストレイトな元の高度行列を求めることに利用できる。例えば、「可算なトーションフリーランク1の群は、その最大トーション部分群と位数無限な元の高度行列で決まる」という事実はよく知られている。
準純粋包をもつ部分群については、最大準純粋包が存在するので、最大トーション部分群がトーションコンプリートである群、例えば、巡回p群の直積、の分類、あるいはADE分解に利用できないだろうか、という今後の課題を得た。

Research Products

• [Publications] 奥山 京: "On Kernels of Purifiability in Arbitrary Abelian Groups"Hokkaido Mathematical Journal. 30・1. 177-194 (2001)
• [Publications] 奥山 京: "On Purifiable Torsion-Free Rank-One Subgroups"Hokkaido Mathematical Journal. 30・2. 379-404 (2001)
• [Publications] 奥山 京: "On Locally Cyclic Abelian Groups of Torsion-Free Rank 1"Kyushu Journal of Mathematics. 55・2. 301-320 (2001)
• [Publications] 奥山 京: "On Isomorphy of Pure Hulls of Purifiable Torsion-Free Subgroups"Hokkaido Mathematical Journal. 30・3. 671-677 (2001)
• [Publications] 奥山 京: "T-High Subgroups of Abelian Groups of Torsion-Free Rank 1"Communications in Algebra. 30・12. 5941-5953 (2002)
• [Publications] 奥山 京: "Quasi-Purifiable Subgroup s and Height-Matrices"Rocky Mountain Journal of Mathematics. 33・1(未定). (2002)