位相的トーリック多様体論の構築

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640087
• Research Institution: Osaka City University
• Principal Investigator: 枡田 幹也 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00143371)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 橋本 義武 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20271182) ; 日比 孝之 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80181113) ; 高倉 樹 中央大学, 理工学部, 講師 (30268974) ; 古澤 昌秋 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50294525) ; 河内 明夫 大阪市立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00112524)
• Keywords: トーリック多様体 / 扇 / 凸体 / 組み合せ論 / トポロジー / トーラス作用 / 同変コホチロジー / 楕円種数

Research Abstract

代数幾何におけるトーリック多様体論をトポロジーの観点から展開している。これまでの研究で、「トーリック多様体」と「扇」の間に1対1対応があるというトーリック多様体論の基本定理に相当するものとして、「トーラス多様体」(もう少し一般的に「トーラス軌道体」)と「多重扇」の対応を得た。しかしながら、この対応は1対1ではなく、コボルディズムという関係で割ることにより1対1となると予想されるが、まだ完成していない。これに関しては、次年度集中的に取り組みたいと思っている。
本年度は、服部晶夫氏と共同で、2n次元のトーラス多様体の第1Chern類がNで割れるとき、レベルNの楕円種数が常に0であるという消滅定理を得た。言い換えれば、レベルN楕円種数は、2n次元多様体がn次元のトーラス作用を持つための障害となる不変量なのである。この事実は、A種数が、スピン多様体がS作用をもつための障害であるという有名なAtiyah-Hirzebruchの定理のトーラス作用版と思える。これらの事実は、Sとn次元トーラスとの中間に位置するトーラス群の作用に関して、どのような障害があるのかの問題を提起する。また、我々の消滅定理の系として、複素n次元トーリック多様体Mの第1Chern類がNで割れるならば、Nはn+1以下であり、さらにN=n+1ならばMは複素射影空間であることが判明した。これは、有名な小林-落合、森の定理のトーリック多様体版である。
多様体で成立する事実の多くは、軌道体でも成立するが、レベルN楕円種数に関する我々の結果は、トーラス軌道体では成立しないことも判明した。

Research Products

• [Publications] J-H.cht, S.S.Kim, M.Masuda, D.Y.Suh: "Classification of equivariant complex vector bandlis over a circle"J. Math. Kyoto Univ.. 41, 3. 517-534 (2001)