2001 Fiscal Year Annual Research Report
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13640089
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 助教授 (40219978)
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| Keywords | Dehn surgery / hyperbolic knot / Seifert fiber space / toroidal manifold / symmetry of knots / primitive / seifert-fibered construction |
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| Research Abstract |
3次元球面S^3内の結び目Kに対し,その管状近傍Vをいったん取り除き,再び別な方法でVを貼り合わせる操作を結び目K上のDehn手術と呼ぶ。Thurstonは双曲Dehn手術理論により,もとの結び目が双曲結び目の場合,有限個の手術を除きDehn手術後も双曲構造をもつことが知られている。本研究では非双曲Dehn手術のうち,Seifert多様体を生成するDehn手術(Seifert fibered手術)について考察した。昨年度までの研究で,結び目対称群の位数が2より大きい双曲結び目のDehn手術でlarge Seifert多様体は生じないことが示されていたが,本研究ではさらにsmall Seifert多様体が生じる場合について考察を進めた。本研究のひとつの特色である"ファイブレーションがもとの結び目の補空間からどのように生じるか"という視点から研究を進め,巡回周期2および強可逆性をもった結び目のDehn手術でsmall Seifert多様体が生じる場合,その3本の例外ファイバーのindexが2より大きく,すべてが互いに異なっていれば結び目がトーラス結び目かそのケーブル結び目でなければならないという有効な条件を与えることができた。またDehn手術でSeifert多様体が生じるメカニズムを解明するためにprimitive/Seifert-fibered constructionについても現在研究中である。Mattman氏,宮崎氏との最近の共同研究でprimitive/Seifert-fibered constructionでは説明されないSeifert fibered手術の例を無限個構成し,Gordonの予想(primitive/Seifert-fibered予想)を否定的に解決した。(この結果は国際的な専門誌に現在投稿中である。)この際,結び目の対称性とSeifert fibered手術に関する上記研究が本質的な役割を果たした。本研究はprimitive/Seifert-fibered constructionの限界およびSeifert fibered手術の新たな可能性を示唆しており,今後この方面の研究を積極的に進めていきたい。
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[Publications] Katura Miyazaki: "Seifert fibering surgery on periodic knots"Topology Appl.. (to appear).
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[Publications] Kimihiko Motegi: "Dehn surgeries, group actions and Seifert fiber spaces"Comm. Anal. Geom.. (to appear).
