重調和擬過程のfirst exit timeと境界値問題への応用

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640129
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 西岡 國雄 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (60101078)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 佐藤 定夫 東京電機大学, 理工学部, 教授 (10170747) ; 平田 雅樹 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (70254141) ; 鷲見 直哉 東京都立大学, 理学研究科, 助手 (50301411)
• Keywords: 重調和作用素 / 重調和擬過程 / 境界条件 / 多重極子 / Brown運動 / n階境界条件

Research Abstract

研究実績の概要は以下のとおり.
重調和作用素,-Δ^2,は弾性論や流体力学のいろいろな現象を記述する微分方程式に現れる.それらの微分方程式の解の性質は,対応する"確率擬過程"を考える事により"粒子の確率運動"として見通しよく捉えられる.我々は既に
【numerical formula】
の基本解を推移確率密度とする確率擬過程(=BPPと呼ぶ)を構成し,半直線上に制限したBPPの境界での挙動を調べた.この結果は,Nishioka[2001]に発表されているが,本年度は,その結果の一般的化の研究を行なった.さらに微分方程式研究者との共同研究と情報収集も行った.
1.BPPの境界での挙動を調べると,BPPは単極子と双極子の2種類の粒子からなることが判っている.西岡は,この現象がBPPに特有の現象ではなく,双極子さらには多重極子が"n階境界条件を満たすBrown運動"でも現れることを証明した.この結果を「確率過程とその周辺」(2002),'「確率過程および擬過程の境界値問題」(2003)などのシンポジウム講演で報告し,発表論文を準備中である.
2.佐藤は,負の確率も許すrandom walkの極限として,BPPを構成した.彼の方法は,境界で双極子が出現する様子が直感的に捉えられる優れた物で,Sato[2002]に発表予定である.またこの構成法は,"多次元境界での応力分布"の数値計算への理論的保証を与えることになり重要な工学的応用が見込まれるため,解析的手法による研究者との共同研究を行った.
3.重調和作用素を持つ微分方程式の解は,有限次元空間上力学系で近似できる.鷲見はそれをあるヘノン型写像として扱った.この写像は微分同相写像であるが、より低次元の空間上で定義される非可逆可微分写像の摂動としてあたえられる.そして,エルゴード理論の立場から、そのカオス現象を解析した.

Research Products

• [Publications] Kunio Nishioka: "Boundary conditions for one-dimensional biharmonic pseudo process"JElectr. J. Prob., 6 (2001) ; http://www.math.washington.edu/~ejpecp/EjpVol6/paper13.abs.html. 6. 1-27 (2001)
• [Publications] Sadao Sato: "An approach to the biharmonic pseudo process by a random walk"J. Math. Kyoto Univ.. (to appear). (2003)
• [Publications] K.Moriyasu, K.Sakai, N.Sumi: "Vector fields with topological stability"Trans. Amer. Math. Soc.. 353. 3391-3408 (2001)
• [Publications] Naoya Sumi: "Diffeomorphisms with positive entropy and chaos in the sense of Li-Yorke"Ergod. Th. & Dynam. Sys.. (to appear). (2003)