薄膜領域におけるギンツブルグ・ランダウ方程式の渦糸解

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640142
• Research Institution: Ryukoku University
• Principal Investigator: 森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 岡 宏枝(國府 宏枝) 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20215221) ; 池田 勉 龍谷大学, 理工学部, 教授 (50151296) ; 四ツ谷 晶二 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60128361) ; 神保 秀一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80201565) ; 松本 和一郎 龍谷大学, 理工学部, 教授 (40093314)
• Keywords: ギンツブルグ・ランダウ方程式 / 渦糸解 / 薄膜領域 / 超伝導 / 解の安定性 / 非線形偏微分方程式 / 力学系 / 非線形楕円型方程式

Research Abstract

ギンツブルグ・ランダウ方程式は超伝導の巨視的な現象を記述するモデルである。研究課題にあるように3次元の薄膜領域において外部磁場がない場合に,自明でない安定解,特に渦糸解と呼ばれる秩序変数が零点を持つ解を構成したい。外部磁場が無い場合でも永久電流の発生による磁場の効果が方程式に組み込まれているので扱いは単純ではない。薄膜の厚さをパラメータで制御し,厚さを零にした極限問題を形式的に導くと磁場の効果が消えることが判明した。そこで,この極限問題が安定な解を持つ場合に,もとの3次元の薄膜領域でも安定解が存在することを示した。特に極限問題で安定な渦糸解が構成できる場合には,もとの問題でも渦糸解の存在がいえ,当初の目的を達成することができた。これらの研究は主に神保秀一氏との共同研究である。
ギンツブルグ・ランダウ方程式は非線形楕円型方程式系になっている。四ツ谷は非線形楕円型方程式の球対称解の構造について統一的にあつかう手法を発展させた。松本は偏微分方程式の初期値問題の基礎的定理を発展させた。
ギンツブルグ・ランダウ方程式の解の構造の研究に数値シミュレーションは欠かせない。池田や中根は数値シミュレーションや数値解析の技術を発展させている。また,物理的な観点から町田はマクロな超伝導現象の理論的解明のために数理モデルの研究を発展させた。

Research Products

• [Publications] S.Jimbo: "Ginzburg-Landau equation with magnetic effect in thin domain"Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 15. 325-352 (2002)
• [Publications] Y.Morita: "Some dynamical aspects of vortices in the Ginzburg-Landau equation"RIMS, Kokyuroku. Vol.1249. 47-51 (2002)
• [Publications] H.Myogahara: "Structure of positive radial solutions for semilinear Dirichlet problems on a ball"Funkcial.Ekvac. Vol.45. 1-21 (2002)
• [Publications] Y.Kabeya: "Canonical forms and structure theorems for radial solutions to semi-linear elliptic problems"Comm.Pure Appl.Anal.. Vol.1. 85-102 (2002)
• [Publications] T.Nishida: "Pattern formation of heat convection problems"Lecture Notes in Computational Sciences and Engineering. Vol.19. 209-218 (2002)
• [Publications] T.Gedeon: "Chaotic solutions in slowly varying perturbations of Hamiltonian systems with applications to shallow water sloshing"J.Dynam.Differential Equations. Vol.14. 63-84 (2002)
• [Publications] W.Matsumoto: "On the Cauchy-Kowalevskaya theorem of Nagumo type for systems"Hyperboic differential operators and related problems. (掲載予定).
• [Publications] S.Jimbo: "Instability in a geometric parabolic equation on convex domain"J.Differential Equations. Vol.188. 447-460 (2003)
• [Publications] S.Jimbo: "Non-existence of permanent currents in convex planar samples"SIAM J.Math.Anal.. Vol.33. 1379-1392 (2002)
• [Publications] K.Nakane: "Global solutions to a one-dimensional hyperbolic free boundary problem"Journal of Computational and Applied Mathematics. (掲載予定).
• [Publications] K.Nagasawa: "Numerical computations for motion of vortices governed by a hyperbolic Ginzburg-Landau system"Nonlinear Analysis. Vol.51. 67-77 (2002)
• [Publications] M.Machida: "Friedel Oscillation in Charge Profile around Superconducting Vortex Core"Physica C. (掲載予定).