複素双曲多様体上の正則写像の剛性と有限性の研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640156
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 志賀 啓成 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (10154189)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 角 大輝 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (40313324) ; 田辺 正晴 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (60272663)
• Keywords: 双曲多様体 / フックス群 / 複素力学系

Research Abstract

m次元複素双曲多様体Mからn次元複素空間内の有界領域N'の商空間として表現できる複素多様体Nへの非定値正則写像の剛性と有限性について研究した.得られた結果は次のとおり.
Mが発散型と呼ばれる多様体の場合には,MからNへの正則写像全体の次元はN"の本質的境界次元を超えない.また,支配的な正則写像の場合はこの次元は0になり,この正則写像は変形を持たない.この際,正則函数の境界値による一意性定理をn次元単位球内の有界正則写像の場合に拡張した.上述の結果を用いて,支配的な正則写像の有限性や,Nがある種の多様体の場合の正則写像の有限性を証明した.また,境界付きリーマン面の擬等角変形を行ったときのDirichlet解の変動の研究を行い,擬等角変形のパラメータに関しDirichlet解が実解析的に変化することを示した.さらに,無限次元タイヒミュラー空間においては,有限次元の場合と異なり,タイヒミュラー距離とサーストン距離が定める位相が異なることを示し,それが一致するための十分条件を与えた.
分担者の田辺はコンパクトリーマン面間の正則写像の剛性について、研究をすすめた。特に、超楕円的リーマン面間において、Weierstrass点には、正則写像によりWeierstrass点にうつるが、写像の、Weierstrass点への制限だけから、元の写像が(involutionの合成を除き)一意に決まること等を示した。
分担者の角は有理関数で生成された半群の力学系の研究を行った。これは通常の複素力学系とフラクタル幾何学の反復写像系の両方に関係する。特に、(1)ジュリア集合の一様完全性、内点の有無を調べた。(2)半双曲性を持つ有限生成半群の力学系を調べ、ジュリア集合のハウスドルフ次元を、上からポアンカレ級数の収束する最小指数で押さえた。(3)半双曲性を持つ多項式歪積の無限遠吸引域がジョン領域であることを示した。

Research Products

• [Publications] H.Shiga: "Dirichlet solutions on bordered Riemann surfaces and quasiconformal"J.d'Analyse.Math.. (To appear).
• [Publications] H.Shiga: "On holomorphic mappings of complex manifolds with ball model"J.Math.Soc. Japan. (To appear).
• [Publications] H.Shiga: "On a distance defined by the length spectrum on Teichmller space"Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.. 28. 315-326 (2003)
• [Publications] M.Tanbe: "Bounds on the number of holomorphic maps of compact Riemann surfaces"Proc.Amer.Math.Soc.. (To appear).
• [Publications] H.Sumi: "Skew product maps related to finitely generated rational semigroups"Nonlinearity. 13. 995-1019 (2000)
• [Publications] H.Kriete, H.Sumi: "Semihyperbolic transcendental semigroups"J.Math.Kyoto Univ.. 40-2. 205-216 (2000)