特異摂動極限として流体及び電磁気学に現れる双曲系境界値問題

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640173
• Research Institution: Nara Women's University
• Principal Investigator: 柳沢 卓 奈良女子大学, 理学部, 助教授 (30192389)
• Keywords: 特異摂動 / 対称双曲性 / 圧縮性オイラー方程式 / 圧縮性ナビエ・ストークス方程式 / ブラントール方程式 / 非圧縮性ナビエ・ストークス方程式 / 渦度

Research Abstract

流体力学に現れる最も基礎的な方程式系の一つである圧縮性オイラー方程式をその典型例として含む,準線型対称双曲系に対する初期境界値問題を,粘性等の散逸効果を限りなくゼロに近づけることによって得られる特異摂動極限問題として捉える為の枠組みの構築を目指し,本年度は次の点を明らかにした。
1.圧縮性オイラー流をその第0項とするような,圧縮性ナビエ・ストークス方程式の粘性係数の平方根に関する漸近解を構成したときに,次の第1項内に(非線型)プラントール方程式が現れる。このプラントール方程式に対する初期境界値問題の(局所時間)存在定理を示す為の準備として,フォッカー・プランク方程式と極めて類似する方程式がその線型化方程式として現れることを確認し,その基本解を求めた。更に,この基本解の構造を調べることにより,線型化問題の解は接線方向に関しても分数階微分程度の滑らかさを持つ事を示した。プラントール方程式に対する初期境界値問題の解の存在証明において,この事実は本質的な役割を果たすと考えられる。
2.渦度と解の滑らかさ(あるいはその消失)との関係を明らかにした。具体的には,「有界領域における非圧縮性ナビエ・ストークス方程式の解がある時刻でその滑らかさを消失するならば,渦度の最大値ノルムのその時刻までの時間積分が無限大に発散する」という結果を得た。注目すべき点は,Beale-Kato-Majda等により示されていた非圧縮性オイラー流に対する主張と全く同様の事実が粘性流に対しても成り立つという事で、これは非粘性極限問題を考える上でも重要な示唆を与えるものと考えている。この結果は現在論文として取りまとめている。