磁場による散乱とアハラノフ・ボーム効果

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640176
• Research Institution: OKAYAMA UNIVERSITY
• Principal Investigator: 田村 英男 岡山大学, 理学部, 教授 (30022734)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田中 直樹 岡山大学, 大学院・自然科学研究科, 助教授 (00207119) ; 廣川 真男 岡山大学, 理学部, 助教授 (70282788) ; 勝田 篤 岡山大学, 理学部, 助教授 (60183779) ; 伊藤 宏 愛媛大学, 工学部, 助教授 (90243005) ; 岩塚 明 京都工繊大学, 繊維学部, 教授 (40184890)
• Keywords: Aharonov-Bohm effect / scattering by magnetic field / point-like magneticfield / scattreing amplitude

Research Abstract

量子力学に従う粒子が直接磁場に触れていなくても,ベクトル・ポテンシャルからの影響をうけ,離れた場所の磁場を感じる現象はアハラノフ・ボ-ム(Aharonov-Bohm)効果として知られている.
本研究の目的は、複数個のデルタ型磁場による2次元散乱を通して量子力学の根幹を担うこの量子効果を数学視点から究明することにある。1点に台をもつ磁場による散乱振幅はすでに計算されている.磁場が1点に局在しても、対応するポテンシャルの台は全平面に拡がり、無限遠での減衰も緩やかな長距離型摂動となる.この研究では、磁場の中心間の距離を離したときの散乱振幅の漸近公式を導き、デルタ型磁場によって波動関数の位相がいかなる変化をうけるか、そして互い離れた個々の磁場による散乱が長距離型ポテンシャルを通していかなる相互関係をもつかを明らかにした。漸近公式は、具体的に計算されるひとつひとつのデルタ型磁場による散乱振幅の和という単純な形をとらない。結果は、磁場の中心の位置関係,入射方向,散乱方向に深く関わる。とくに、磁場の中心が直線状に並び、入射方向がその方向と一致するとき、磁場による効果が強く現れ、漸近公式が隣接する磁場の中心間の距離の比に関係することが示された.証明は粒子の相空間での動きを追跡する準古典解析法に基づく.本研究を通して、継続して研究すべき多くの関連課題が明らかにされた。例えば、得られた漸近公式の第2項の計算、universal covering space法に基づく別の視点からのアプローチ、また、3次元散乱の典型的な問題として、トーラス内に閉じ込められた磁場による散乱問題の数学解析などがそれである.なお、covering space法を用いた研究は、物理系雑誌に公表された論文はあるが、数学的にはいささか厳密性に欠けるものである.
その他に、金沢大学の一瀬孝教授が主催する指数積公式に関する研究グループの一員として参画し、一般的な条件の下で作用素ノルム収束を証明し、その誤差評価が最良のものであることを示した(Commun.〜Math.〜Phys.,(2001))。今後は、経路積分表示されるシュレディンガー半群の基本解を指数積公式(折れ線経路による積分表示)を用いて近似するとき、各点での収束およびその誤差評価を確立することが重要な応用課題となる。

Research Products

• [Publications] 田村 英男, 伊藤 宏: "AAharonov-Bohm effect in scattering by a chain of point-like magnetic fields"Asymptotic Analysis. 21. (2002)
• [Publications] 田村 英男, 伊藤 宏: "Aharonov-Bohm effect in scattering by a chain of point-like magnetic fields"数理解析研究所講究録. 1255. 143-151 (2002)
• [Publications] 田村 英男, 一瀬 孝: "On the norm convergence of the self-adjoint Trottre-Kato product formula with error bound, Spectral and inverse spectral theory"Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci.. 112. 99-106 (2002)