超離散ソリトン方程式の代数構造の究明と工学への応用

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640212
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 永井 敦 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助手 (90304039)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 近藤 弘一 同志社大学, 工学部, 講師 (30314397) ; 辻本 諭 京都大学, 大学院・情報学研究科, 講師 (60287977) ; 尾角 正人 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (70221843)
• Keywords: 離散、超離散 / q差分 / 非整数階微分、差分 / 可積分系 / グリーン関数 / 可解格子模型

Research Abstract

本年度は数理工学や基礎工学に登場する微分方程式、差分方程式、q差分方程式、超離散方程式の解の導出とその詳細な性質解明を行った。得られた主要な結果は以下の通りである。
1.非整数階微分の差分化を行い、その固有関数を求めた。この固有関数は連続極限でミッタークレフラー関数に収束する関数である。またこの事実を用いて、非整数階差分を有する新しい非線形可積分系を構成し、その解についても議論した。
2.非整数階微分の等比差分化(q差分化)を行い、その固有関数を用いた。この固有関数はある極限操作でミッタークレフラー関数に収束するものである。この事実を用いて、非整数階q差分を伴う新しい非線形可積分系を構成し、その解を求めた。また非整数階q差分を用いた非整数階微分方程式の数値スキームを開発した。
3.板のたわみやストークス方程式の線形近似に関連して、重調和作用素のグリーン関数およびポアッソン関数の新たな積分表示を求めた。この積分表示に基づいて、グリーン関数およびポアッソン関数の境界挙動を調べた。
4.第3種境界条件を伴う棒のたわみ方程式のグリーン関数を求め、その正値性とパラメータに関する単調性を証明し、単純型境界条件下でのグリーン関数の補間形で表されることを示した。また境界条件を満たす基本解の正値性についても調べた。
5.箱玉系に付随する分配関数を定義した。また幾何クリスタル、トロピカルRの視点から箱玉系と可解格子模型との関連を調べた。

Research Products

• [Publications] A.Nagai: "An integrable mapping with fractional difference"Journal of the Physical Society of Japan. 72. 2081-2083 (2003)
• [Publications] A.Nagai: "On a certain fractional q-difference and its eigen function"Journal of the Nonlinear Mathematical Physics. 10. 142-151 (2003)
• [Publications] 永井 敦: "ミッタークレフラー関数の差分化-非整数階差分とは?"数理科学. 483. 50-55 (2003)
• [Publications] M.Okado: "Virtual crystals and Kleber's algorithm"Commun.Math.Phys.. 238. 187-209 (2003)
• [Publications] M.Okado: "Geometric crystal and tropical R for D^{(1)}_n"Internat.Math.Res.Notices. 48. 2565-2620 (2003)