2001 Fiscal Year Annual Research Report
グロモフ・ハウスドルフ極限空間上のディリクレ空間と調和写像の解析
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13640220
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| Research Institution | Yokohama City University |
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Principal Investigator |
桑江 一洋 横浜市立大学, 総合理学研究科, 助教授 (80243814)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大津 幸男 九州大学, 数理学研究院, 助教授 (80233170)
塩谷 隆 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90235507)
小倉 幸雄 佐賀大学, 理工学部, 教授 (00037847)
市田 良輔 横浜市立大学, 総合理学研究科, 教授 (10094294)
町頭 義郎 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (00253584)
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| Keywords | ディリクレ形式 / ソボレフ空間 / 調和写像 / 加藤クラス / ファインマンカッツ公式 / ギルサノフ公式 / グロモハウスドルフ収束 / アレキサンドロフ空間 |
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| Research Abstract |
平成13年度は以下の結果を得ることができた。(1)非線形エネルギーの場合、(2)線形エネルギーの場合、の2つにわけて報告する。
(1)非線形エネルギーの場合。
リッチ曲率が下に有界で直径が有界で体積が一様に下から正の定数で押さえられたコンパクトリーマン多様体のグロモフハウスドルフ極限空間から完備距離空間へのp乗可積分写像上のソボレフ空間を構成することに成功した。またアレキサンドロフ空間がアレキサンドロフ空間にリプシッツ収束し、そのtarget空間が曲率が上から0で有界な空間のときに2乗可積分写像のエネルギーがモスコの意味で収束することを示した。また曲率が上から0で有界な空間上が収束したときにその上で点列の強収束と弱収束の概念を与え、モスコの意味での凸下半連続汎関数の収束の概念を与え、そのときに摂導を受けたエネルギーの最小値を与える点(これを汎関数のレゾルベントと呼ぶ)の強収束を示すことに成功した。
(2)線形エネルギーの場合。
局所対称なディリクレ形式に低階の微分項に相当する非対称な摂導を与え、それで得られた非対称な2次形式に対応する半群の確率論的表示を与えることに成功した。いままでに知られているこの種の結果は摂導を与える項の係数が加藤クラスと呼ばれるものであったが、今回の結果は加藤クラスをより広いクラスを設定してその条件のもとで一般的な枠組みで半群の表示を与えた。また半群の確率論的表示としてはよく知られたファイマンカッツ公式やカメロンマルチン丸山ギルサノフの公式といったものが有名だがこの結果はそれらを総括する幅広い表示を与えている
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[Publications] K.Kuwae, T.Shioya: "On generalized measure contraction property and energy functionals over Lipschitz maps"Potential Analysis. 15. 105-121 (2001)
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[Publications] K.Kuwae, Y.Machigashira, T.Shioya: "Sobolev spaces, Laplacian, and heat kernel on Alexandrov spaces"Mathematische Zeitschrift. 238. 269-316 (2001)
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[Publications] K.Kuwae: "Reflected Dirichlet forms and the uniqueness of Silverstein s extension"Potential Analysis. 16. 221-247 (2002)
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[Publications] T.Shioya, T.Yamaguchi: "Collapsing three-manifolds under a lower curvature bound"J. Differential Geom. 56. 1-66 (2000)
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[Publications] Y.Ogura: "Weak convergence of laws of stochastic processes on Riemannian manifolds"Probab. Theory Related Fields. 119. 529-557 (2001)
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[Publications] Y.Machigashira, F.Otsuka: "Total excess on length surfaces"Math. Annalen. 319. 675-706 (2001)
