2002 Fiscal Year Annual Research Report
グロモフ・ハウスドルフ極限空間上のディリクレ空間と調和写像の解析
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13640220
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| Research Institution | Yokohama City University |
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Principal Investigator |
桑江 一洋 横浜市立大学, 総合理学研究科, 助教授 (80243814)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大津 幸男 九州大学, 数理学研究院, 助教授 (80233170)
塩谷 隆 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90235507)
小倉 幸雄 佐賀大学, 理工学部, 教授 (00037847)
町頭 義朗 大阪教育大学, 教育学部, 助教授 (00253584)
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| Keywords | ディリクレ形式 / 調和写像 / 劣調和関数 / 加藤クラス / ハーディクラス / グロモフ・ハウスドルフ収束 / アレキサンドロフ空間 / ドリフト変換過程 |
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| Research Abstract |
平成14年度は調和写像の解析に必要な最大値原理特にカラビ型の強最大値原理とリュウビル型定理、およびドリフト変換をして得られた拡散過程の保存性に関する研究を行った。カラビ型の強最大値原理については残念ながら現時点でグロモフ・ハウスドルフ極限空間を含む形で成立する状況ではないがユークリッド空間や滑らかな完備リーマン多様体において既存のカラビ型強最大値原理を包含する形で成立する結果を得ることができた。アレキサンドロフ空間やグロモフ・ハウスドルフ極限空間を例として含むか否かについては継続して研究を続けている。これは開球の境界が確率論的に正則であるかに依存しており、古典的な意味でのディリクレ境界値問題の解の構成と一意性と密接に関係していて興味深い。特にアレキサンドロフ空間において開球が正則領域になるか否かについて分担者塩谷隆氏と研究予定である。またリュウビル型定理につては強局所性をもつディリクレ形式と対応する拡散過程の枠組みにおいて調和写像の定義を任意のtarget上の点からの距離関数との合成が劣調和になることで与え、有界な調和関数は定数に限るとの仮定のもとでエネルギー有限もしくは有界な調和写像が定数にかぎることを得ることができた。これは最近、厚地淳氏によってリーマン多様体もしくはその上の一様楕円型条件をみたす生成作用素からきまるディリクレ形式からアダマール多様体への調和写像について得られた結果の精密化である。しかしながらもとの拡散過程が再帰的の場合は問題ないが非再帰的のときはtargetの空間の局所コンパクト性が証明に必要である。この仮定を外すのが今後の課題である。
ドリフト変換をして得られた拡散過程の保存性については従来の結果はユークリッド空間において有界なドリフトかドリフトの平方が加藤クラスと呼ばれるもののときに成立することが知られていた。研究代表者は前年にUCSD教授P.J.Fitzsimmons氏と行った共同研究の成果をもとにして加藤クラスよりも弱いクラスであるハーディクラスにドリフトの平方がはいり、かつドリフトがp乗可積分でpが2より少し大きい定数より大きいときに保存性が成立することを証明した。これは3次元以上でpが次元でドリフトの発散が超関数の意味で負となるときにRoecknerとZhang等により示されていた。研究代表者の結果より彼等の結果においてドリフトの発散が超関数の意味で負という条件は不要であることが判明した。しかしながら、ドリフトの可積分性は無限遠において強すぎる仮定であり、石毛-村田によるコーシー問題の正値解もしくは有界解の一意性の結果の観点からも弱めるのが望ましい。彼等の結果と研究代表者の結果を包含するためには放物型ハルナーク不等式を局所ハーディークラスの計数に対して拡張する必要となあり、継続して研究を進めている。
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Research Products
(5 results)
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[Publications] K.Kuwae: "Reflected Dirichlet forms and the uniqueness of Silverstein's extension"Potential Analysis. 16. 221-247 (2002)
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[Publications] K.Kuwae, T.Shioya: "Sobolev and Dirichlet spaces between metric spaces"Journal fur die reine und angewandt Mathematik. 555. 39-75 (2003)
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[Publications] K.Kuwae, T.Shioya: "Convergence of spectral structures : a functional analytic theory and its applications to spectral geometry"Communications in analysis and geometry. (印刷中). (2003)
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[Publications] K.Kuwae: "Conservativeness of diffusion processes with drift"Proceedings of the American Mathematical Society. (印刷中). (2003)
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[Publications] Y.Ogura, M.Tomisaki, M.Tsuchiya: "Convergence of local type Dirichlet forms to a non-local type one"Ann.Inst.H.Poincare Probab.Statist.. 38. 507-556 (2002)
