非線形双曲型方程式に対する特異性の伝播について

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13640226
• Research Institution: Kyoto Sangyo University
• Principal Investigator: 辻 幹雄 京都産業大学, 理学部, 教授 (40065876)
• Keywords: 非線形双曲型方程式 / 保存則系 / 古典解 / 弱解 / 特異性 / 衝撃波

Research Abstract

非線形双曲型方程式、及び非線形1階双曲系に対する初期値問題について考える。我々の研究課題はこの問題に対する大域理論である。この問題の難点は有限時間内に解に特異点が現れることであり、特異点の代表的な例は衝撃波である。従って我々の主な目的は『特異点を越えて解を延長すること』である。我々の手法は偏微分方程式を高次元空間の中にまでもち上げ解の特異点を解消する。この解を「幾何学的解」と定義する。幾何学的解は特異点を含まないので、古典理論に従ってそれを延長することが出来る。次に幾何学的解を基空間(base space)に射影すると多価解が得られる。この"多価"の中から物理的条件を満たす値を唯一つ選び"reasonableな特異点を含んだ解"、即ち"弱解"を構成するのである。これが我々のプログラムである。では「どの様に解の特異点を解消するか?」この問題を「幾何学的解は高次元空間の中で定義された"Pfaff問題"の解である」として解決した。次は「どうやってPfaff問題を解くか」という大きな問題に直面した。ここ数年の研究の結果、Pfaff問題の解き方に大分慣れてきた。即ち具体的な例に対して幾何学的解を構成する辻の技術が大分進歩した。次に幾何学的解を基空間に射影して、弱解を構成するのであるが、この問題に対して部分的成果はあるが最終的結論に至っていない。一方、我々の幾何学的手法による研究の結果、これまでに打ち立てられた理論に対して疑問が湧いてきた。これまでの理論は主として粘性法により打ち立てられた。粘性法は放物型方程式による近似である。従って我々の疑問を一言に纏めれば「放物型近似は双曲性と共存出来るか?」と言うことが出来る。我々の疑問の一部は最近の研究業績(accepted for publication)に報告されている。解の特異点に関する研究を続けながら、出発点に立ち返り基礎理論を検討している。

Research Products

• [Publications] Mikio TSUJI: "Integration and singularities of solutions for nonlinear second order hyperbolic equations"Hyperbolic differential equations and related problems (Marcel Dekker, Inc). 109-127 (2003)
• [Publications] Mikio TSUJI: "Nonlinear hyperbolic equations and diffusion"数学解析の望ましい姿を探って(九州大学出版会). 1-10 (2004)
• [Publications] Mikio TSUJI: "Some remarks on nonlinear hyperbolic equations and systems"Abstract and applied analysis (World Scientific). (accepted for publication).