多変数多項式方程式系の全ての実根および複素根を計算する多面体的ホモトピー法の開発

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13650444
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 小島 政和 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 教授 (90092551)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 藤沢 克樹 京都大学, 大学院・工学研究科, 助手 (40303854) ; 松岡 聡 東京工業大学, 学術国際情報センター, 教授 (20221583)
• Keywords: 多項式方程式系 / 多面体的ホモトピー法 / 予測子・修正子法 / 並列アルゴリズム / Ninf

Research Abstract

この研究の目的は,大規模な多変数多項式方程式系の全ての根を計算する実用的な計算手法を開発することにある.ここで用いる多面体的ホモトピー法は大きく分けて2つのフェイズ,フェイズ1:多面体的ホモトピー多項式の構成 フェイズ2:予測子・修正子法によるホモトピーパスの追跡からなる.フェイズ1では従来の伝統的な数値解析の枠からはみ出た多面体のmixed cellの構成とその数え上げ計算を含んでいる.いずれのフェイズもNinf(大域的な計算機ネットワーク上での大規模計算を支援するシステム)上で並列アルゴリズムを実装しており,予備的な計算実験に入っている.上記のフェイズに加えてフェイズ3:全ての実根および複素根が計算出来たかの検証についても研究し,処理アルゴリズムを開発している.これまで解いた最も大きなも多変数多項式方程式系は13次元のcyclic polynomialでその根の個数は270万個に達する.これはこれまでに解かれたも最も大規模な多変数多項式方程式系である,この経験より,多面体的ホモトピー法の並列実装は極めて強力で,より大規模な多変数多項式方程式系の求解も可能である見通しをつけた.今後はそれぞれのフェイズで開発したソフトウエアの計算効率および数値的安定性の向上,それらの融合,ソフトウエアとしての公開等の課題が残されている.なおこれらの結果は松山で行われた国際会議ICRACM2001で発表した.また,開発したソフトウエアについては,今年8月に北京で行われる国際会議ICMS2002で発表する予定である.

Research Products

• [Publications] A.Takeda, M.Kojima, K.Fujisawa: "Enumeration of All Solutions of a Combinatorial Linear Inequality System Arising from the Polyhedral Homotopy Continuation Method"Journal of the Operations Research Society of Japan. (掲載予定).