高次元ポアソン点過程に対するボロノイ・セルの統計分布の研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13680379
• Research Institution: The Institute of Statistical Mathematics
• Principal Investigator: 種村 正美 統計数理研究所, 調査実験解析研究系, 教授 (80000214)
• Keywords: ポアソン点過程 / ボロノイ・セル / 計算機シミュレーション / 一般化ガンマ分布 / f-vector / 最尤推定 / 空間統計学 / 高次元空間

Research Abstract

観測された所与の点配置に対して、その点配置の統計的な性質を明らかにすることは「空間統計学」の重要課題である。そのとき。所与の点配置に対してボロノイ(Voronoi)分割を施し、それの統計的性質を研究するというアプローチは有力な方法の一つである。本研究では、完全にランダムな点配置(ポアソン点過程>に対するボロノイ分割(及び一つのボロノイ・セル)の統計的分布を2次元だけでなく、高次元空間に対して可能な限り正確に求めることを平成13年度から目指している。理論的には、ボロノイ・セルの幾何学的特徴の一部の積率が知られているのみで、われわれの目的のためには計算機を用いて大量の独立標本を生成して、その統計分布を求めることが必要になる。
本年度は4,5次元空間のポアソン点過程に対するボロノイ・セルの種々の幾何学量の統計分布を確定することを行った。これらの次元では、代表者が昨年度開発した高次元用のボロノイ分割プログラムを、大量のデータ生成に対応できるように改良した上で、互いに独立なボロノイ・セルの標本をポアソン点過程に対して計算機を用いて大量に生成し、データを蓄積していった。これと同時に、本年度は4次元以上において現れる多面体の性質、すなわちf-vectorの要素の間に統計的な依存性が出現することを初めて指摘し、ポアソン点過程に1対するf-vectorの統計分布を4次元,5次元のボロノイ・セルに対して導いた。
また、本年度は2次元ポアソン・ボロノイ・セルの三角形のみの出現確率に関して最近発表された理論結果と、われわれが本研究で行っている2次元の計算機シミュレーションの結果とを比較したところ、両者の一致が非常に良いことが判明し、その面積・周囲長の積率も一致することが分かった。このことは、われわれの計算機シミュレーションの結果が信頼できることを裏付けており、大量の独立標本を生成したことによって初め得られる事実である。
研究成果の一部は、2002年6月14-15日に中部大学(春日井市)で開催された第53回形の科学シンポジウムにおいて発表された。また、2003年2月7日の東京大学空間情報科学研究センター主催の応用統計セミナーなどでも発表された。

Research Products

• [Publications] 種村正美: "4次元,5次元におけるRandom Voronoi Cellのf-vectorの統計分布"形の科学会誌. Vol.17,No.1. 50-51 (2002)
• [Publications] Sugimoto, T.: "Sphere covering under the Minkowski condition"Research Memorandum, I.S.M.. No.857. 1-19 (2002)
• [Publications] 杉本晃久: "Minkowski条件下での等大球帽の球面被覆"形の科学会誌. Vol.17,No.2. 131-132 (2002)
• [Publications] Sugimoto, T.: "Covering of a sphere with congruent spherical caps under the condition of Minkowski set of centers"Proceedings of Japan Conference on Discrete and Computational Geometry 2002. 38-39 (2002)
• [Publications] 高木隆司(編集委員長): "かたちの事典"丸善出版事業部. 900 (2003)