非可換微分幾何学における収束問題および巡回ホモロジーについて

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13740049
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: 宮崎 直哉 慶應義塾大学, 経済学部, 助教授 (50315826)
• Keywords: noncommutative geometry / cohomology / symplectic geometry / Deformation theory / star product

Research Abstract

(1)巡回(コ)ホモロジーの計算について。
一般ポアソン構造、ユニモデュラーポアソン構造、そして2次ポアソン構造の変形量子化によって得られる非可換結合環のホッホシルトならびに巡回(コ)ホモロジーの計算を行なった。
まず、一般の場合にはホッホシルトコホモロジーがリヒネロヴィッツ・ポアソンコホモロジーによって計算できることがわかった。
また、ホッホシルトホモロジーはユニモデュラーと言う条件のもとでリヒネロヴィッツ・ポアソンコホモロジーによって計算されることも証明できた。
また何の条件も無い場合にはコシュール・ポアソンホモロジーによって計算できることもわかった。
そして、2次ポアソン構造の場合は空間が2次元の場合にのみ限定してホッホシルトコホモロジーが決定できた。
これらの結果を用いると巡回(コ)ホモロジーなども計算できることがわかる。
以上については現在論文を準備中である。
(2)量子接続の応用(変形量子化における局所指数定理について)
シンプレクティック多様体の変形量子化において吉岡朗氏は(フェドソフの接続を拡張して)曲率から得られるファーストチャーン類がスター積の完全不変量を与えるような接続(量子接続)を構成する事に成功した。これを受けて筆者は量子接続を積極的に用いる事によって変形量子化における局所指数定理を定式化し、その熱核構成と共形変換に基づく簡単な証明を与えた。これを多様体で積分することでフェドソフの指数定理と関連づける事が出来る。これについても現在論文準備中。
(3)変形量子化の収束問題について。
変形量子化の際に通常は形式的パラメーターと考えていたプランク定数を正実数と考えることによりスター積の収束を論じることができる。その結果、「結合律の崩壊」というプランク定数を形式的パラメーターと考えているときには見られなかった異常な現象が観察されることが分かってきた。これに関連してハイゼンベルグ型のポアソン構造に対応するスター積が結合環になるための必要かつ充分条件を決定した。
(3)は大森氏、前田氏、吉岡氏らとの共同研究。

Research Products

• [Publications] H.Omori, Y.Maeda, N.Miyazaki, A.Yoshioka: "Convergent star products on Frechet linear Poisson algebras of Heisenberg type"Contemporary Mathematics. 288. 391-395 (2001)