確率論のスペクトル論的研究

2001 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13740057
• Research Category: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 白井 朋之 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助手 (70302932)
• Keywords: ランダム場 / フェルミオン / ボゾン / 弱ブロッホ性

Research Abstract

ランダム行列GUEの固有値のなすランダム場の一般化についての研究と,無限グラフ上の磁場付きシュレーディンガー作用素のスペクトルの構造と固有関数との関係についての研究を主に行なった.
局所的にトレース族に属する積分作用素のフレドホルム行列式をラプラス変換とするランダム場は,特別な場合フェルミオンを記述するランダム場としてとらえられる.このランダム場は最近では様々な立場から研究されるようになってきた.本研究においては,その対極に存在するボゾンを記述するランダム場も同じ枠組のもとで論じることができることを示した.さらにラプラス変換の中に1パラメータを導入することによって,フェルミオンとボゾンを特別な例とするあらたなランダム場の存在も示唆した.特に,あるパラメータにおけるランダム場は無相関であるポアソンランダム場が対応することもわかった.この研究の過程で,有限次元の行列に対する行列式の一般化となる量が自然に定義され,その性質についてもランダム場の立場から調べた.
アーベル群が作用するような周期的な格子上の離散的ラプラシアンの問題は,直積分によって分解すると,本質的に有限グラフ上の磁場付き離散的シュレーディンガー作用素の問題を考えることに帰着するが,群の作用がない場合はこの方法は適用できない.本研究では,無限グラフ上の磁場付き離散的作用素に対して,グラフの体積と表面積の増大度に着目すると,ある性質については弱い意味で周期的な場合と同様の議論ができることがある.特にこの観点から弱ブロッホ性という性質について研究した.

Research Products

• [Publications] Yu, Higuchi, T.Shirai: "Weak Bloch property for discrete maguetic Schrodiger operators"Nagoya Math. J.. 161. 127-154 (2001)
• [Publications] Y.Takahashi, T.Shirai: "Fermin process and Frechholm determinant"Proceedings of the Second ISAAC Congress. Vol.1. 15-23 (2000)