凸体の幾何とファジー力学系

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 13874008
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: 浦川 肇 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (50022679)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 日合 文雄 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (30092571) ; 金子 誠 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10007172) ; 麻生 透 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (00111352) ; 尾畑 伸明 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10169360) ; 大野 芳希 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (80005777)
• Keywords: ネットワーク / 離散曲面 / 無限グラフ / 剛性行列 / 質量行列 / グリーン核 / 熱核 / ファジー・ドラム理論

Research Abstract

3次元空間内のネットの幾何学である離散曲面を考察し、その中で、離散非固有アファイン球面を定義し、その分類を行った。これらの離散曲面の連続極限が滑らかな非固有アファイン球面が回復されることを示した。離散及び滑らかな非固有アファイン球面のループ群表示定理を示し、ベックルンド変換を与え、システマティックに大量の例が構成出来ることを示した。
平面有界領域上のディリクレ固有値問題の固有値と固有関数を具体的に数値計算する有限要素法における剛性行列と質量行列を完全に書き下すことに成功し、剛性行列や質量行列とグラフ理論における隣接行列との間の深い関係を明示する定理を示した。この結果、ディリクレ固有値問題の固有値と固有関数がグラフ理論における隣接行列の固有値と固有ベクトルと関係していることを示した。さらにその応用として、数値計算のためのプログラムの計算時間の短縮に役立つことが期待できる。
無限グラフの熱核とグリーン核を無限準正則グラフの場合に具体的に計算した。この結果に熱核とグリーン核比較定理とを合わせて、極めてシャープな熱核とグリーン核の評価定理を得ることが出来た。
ファジー力学系の定式化として、ファジー・ユークリッド空間内の「太鼓の音」の問題を定式化する試みを行い、ファジー・ユークリッド空間上の測度・可測関数、微分形式と外微分、内積と余微分などを厳密に定義することが出来た。ファジー・ドラム理論の新たな進展が出来るものと期待している。

Research Products

• [Publications] H.Urakawa: "Yang-Mills theory over compact symplectic manifolds"Annals Global Analysis Geometry. 印刷中. 1-38 (2004)
• [Publications] H.Urakawa: "The heat kernel and the Green kernel of an infinite graph"Contemporary Mathematics, Amer.Math.Soc.. 印刷中. (2004)
• [Publications] H.Urakawa: "The Dirichlet eigenvalue problem, the finite element method and graph theory"Contemporary Mathematics, Amer.Math.Soc.. 印刷中. (2004)
• [Publications] H.Urakawa: "The Cheeger constant, the heat kernel and the Green kernel of an infinite graph"Monatshefte fur Mathematics. 138. 225-237 (2003)
• [Publications] H.Urakawa: "Yang-Mills theory and conjugate connections"Differential Geometry and Its Applications. 18. 229-238 (2003)
• [Publications] H.Urakawa: "Discrete improper affine spheres"J.Geometry and Physics. 45. 164-183 (2003)