2014 Fiscal Year Annual Research Report
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13J01895
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
生駒 英晃 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Keywords | アラケロフ幾何 / 数論的因子 / 数論的体積関数 / 線型系 / 同程度分布定理 / 張の基本不等式 / 有理点 / 凸幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当研究の目的は、前年度に引き続き、アラケロフ幾何における数論的因子の正値性を調べ、張の基本不等式の一般化を目指すものです。平成26年度は、張による高さの小さい有理点の同程度分布定理の一般化として、数論的体積関数の微分可能性とその応用について調べました。ファルティングス・リリャックの数論的ホッジ指数定理と数論的藤田近似定理の応用として、数論的体積に対するブルン・ミンコフスキーの不等式が得られます。私は、その等号成立が適当な正数倍と数論的にR-線型同値であることに同値であることを証明しました。系として森脇が曲線上で示した数論的ザリスキー分解の一意性が一般次元の場合に確かめられました。森脇による数論的ホッジ指数定理の高次元化や袁による数論的蕭不等式の証明で本質的な役割を担ったのは(数論的に豊富な場合の)数論的ベルティニ定理でした。私はその証明を簡素化し、さらに数論的に自由な場合へと一般化することに成功しました。
数論的な線型系がノルムの小さい切断で生成されるための条件は、張と森脇によって示されていました。彼らによる証明は次元による帰納法と最大逐次最小の込み入った評価を繰り返すもので、これ以外の証明方法は今まで知られていませんでした。私は、森脇による弱いバージョン(森脇の提案に従って、「張・森脇の定理」と呼びます)に対して、はるかに簡単な別証明を与えました。私の証明は、数論的な基底点集合の簡単な性質を用いるだけです。私はさらに進んで、数論的な拡大基底点集合と数論的な制限体積の基本性質と相互の関係について調べました。代数幾何において、拡大基底点集合が制限体積のゼロ軌跡として特徴付けられることが知られていますが、これがアラケロフ幾何の文脈でも成立することを確認しました。また、数論的制限体積に対する一般藤田近似が成り立つことも示しました。これらの結果は既に雑誌に投稿し、現在査読待ちです。さらにこれらの結果を合せることで、数論的体積の微分可能性(従って、張の同程度分布定理)の、開多様体バージョンへの一般化が可能であるとの見通しを持ちました。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当研究の目標である張の基本不等式の一般化は、平成25年度の研究開始当初に考えていたようには進まないことが分ってきました。しかし前項目で記述した通り、いくつかの関連する一般化に成功しました。張の基本不等式は数論的豊富性の判定条件(前項目の後半部)と高さの小さい有理点の同程度分布定理(前項目の前半部)を導く不等式と言えます。数論的豊富性の中井・モイシェゾン型判定法に関連して、張・森脇の定理の新しく、初等的な別証明を得ました。これは数論的な基底点集合の調査から得られたものです。同程度分布定理に関連して、数論的依積関数の微分可能性とその応用を得ました。
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| Strategy for Future Research Activity |
前項目でも記述したように、私は、数論的基底点集合と数論的制限体積との関係を調べる過程で、数論的体積とその微分可能性を開多様体バージョンと呼べるものに一般化する方法を思いつきました。代数幾何における開多様体バージョンとは、射影多様体と有効因子の組を指しますが、アラケロフ幾何でそれに該当する可能性のあるものとして、数論的因子と基底因子のペアを考えます。私が気づいたことは、このようなペアに対しても数論的体積が定義され、有効性・巨大性などの正値性の概念や、さらに体積関数の連続性・微分可能性などの重要な性質が自然に一般化されるということです。特に数論的体積関数の微分可能性は、アラケロフ幾何における正値性の研究全般において最も実り豊かな結果の一つですので、それを開多様体の場合に非自明に一般化できれば、実りあることと信じます。本年度も引き続き、当該目標達成のために鋭意努力致します。
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Research Products
(4 results)
