| Research Abstract |
今年度は自由群の従順極小カントール系を, 具体例の構成・解析を通して研究した.
自由群の従順極小カントール系で, C*接合積の同型類が完全決定, あるいはK群などの性質により部分的に決定されている例は, これまで境界作用や, Elliott-Sierakowskiにより近年構成された数個の例など, その数は非常に限られていた. 今年度の研究では, 自由群の境界作用とprofinite Cantor系の対角作用として得られるCantor系を考察した.
これらは実際極小従順であり, さまざまな例を与えることが期待できる. 私はこれらのCantor系のうち, 広いクラスの接合積のK-群を計算する手法を与えることに成功した. この方法により, C*-接合積の同型類が完全決定できる連続個の自由群の従順極小カントール系を構成することができた. その系として(同型類が特定されている)連続個のKirchberg環が, 自由群のカントール系の接合積として表せることを示した.
この結果は, 単元以外が非自明な不動点を持たないカントール系だけを考えても同様に成立することを確認した. (現れるKirchberg環のクラスは変わりうる.)
この研究成果と, Kirchberg-Phillipsの分類定理を組み合わせることで, Kirchberg環のうち, K群が(G￥oplus Q/Z, O, Zk^￥infty), Gは無限階数をもつねじれのないアーベル群, で与えられるものは, 任意のvirtually自由群のカントール系の接合積に分解できることが系として得られた.
また, 私は今回の研究の応用として, 境界作用と, odometer変換とよばれる古典的なカントール系の直積(これらは連続個ある)との対角作用の軌道同値類の分類問題を考察した. C*接合積はカントール系の連続軌道同値, 強軌道同値, 位相充足群の不変量であることが知られており, 接合積の決定は重要であった.
その結果, これらの連続軌道同値, 強軌道同値, 位相充足群はすべてC*接合積の同型で分類できることを示し, これらの意味で同型となる条件を元のodometer変換の型により簡潔に記述することに成功した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
C^*-接合積の構造を完全に把握できるような自由群の従順極小カントール系を多数構成することは当初気にしていた重要な問題であったが, 今年度の研究によりそのような例を非常に具体的な形で連続個与えることに成功した. これにより極小従順カントール系が本当に充分にたくさん存在すること, その一部は人の手により十分解析可能であることが明らかになった. これは研究の第一ステップとして非常に重要であった. 以上を踏まえ, 当研究は当初の研究計画と比較して充分順調に進展していると結論づける.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究方策としては, まずは自由群の極小従順カントール系の接合積として現れるKirchberg環のクラスを特定したい. このクラスはPimsner--Voiculescuの完全系列からK_1群に制約があることはわかるが, それ以外の制約は現在のところ知られていない. これらのKirchberg環をすべて極小従順カントール系の接合積として実現したい. そのために, 今年度の構成法を一般化した, skew productによる構成法を研究するのが大きな目標の一つである. この構成をするには非自明なcocycleを与える必要があり, またK群の計算もより困難になるなど, 以前の構成法より多くの困難があるが, その分より豊富な例を与えることが期待できる.
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