パンルヴェ方程式の数理

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14204012
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 岡本 和夫 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40011720)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 神保 道夫 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (80109082) ; 桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444) ; 薩摩 順吉 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70093242) ; 野海 正俊 神戸大学, 大学院・自然科学研究科, 教授 (80164672) ; 坂井 秀隆 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (50323465)
• Keywords: パンルヴェ方程式 / ガルニエ系 / 可積分系 / ベックルント変換 / 双有理正準変換 / ルート系 / 初期値空間 / ホロノミック変形

Research Abstract

本研究課題の目標は、パンルヴェ方程式とその多変数化であるガルニエ系を対象として、それらに関係する数学を多面的かつ総合的に研究することで、具体的には、(1)パンルヴェ方程式とガルニエ系の研究、(2)数理物理学や工学への応用と数学の他分野への発展、(3)広いクラスの非線形完全積分可能系への発展、の3点である。初年度である平成14年度は、研究テーマの整理と準備に当て、各研究分担者はそれぞれの立場からの研究に基づきグループの構成を行った。対象はパンルヴェ系に直接あるいは間接に関係するものを設定し、他の研究分担者および研究代表者と調整し、国内諸研究機関の研究者や海外の研究者と専門にこだわらず積極的な交流を深めることを目指した。研究代表者が共同研究により得た成果は次の通りである。パンルヴェ方程式の双有理変換はよく知られているが、それ以外にもパンルヴェ方程式には高次の代数的変換を許す。このような変換をパンルヴェ方程式の折り畳みと呼ぶが、そのすべてを決定した。また、パンルヴェIII型方程式は3つのタイプに分けて考察することが自然であることが、最近の幾何学的研究により明らかになったがこの立場からの詳細な研究を行った。さらに、パンルヴェ方程式はある2階線型常微分方程式のホロノミック変形で特徴付けられるが、代数解を代入すると、これらの線型方程式は古典関数で表され、そのモノドロミーを具体的に決定することができる。これらの結果は現在論文を準備中である。この研究において国内外の研究者との共同研究や討論は極めて重要な役割を果たしたので、引き続き積極的に押し進めたい。研究分担者の成果についてはその主なものを文献表に挙げておく。

Research Products

• [Publications] SATSUMA JUNKICHI(共著): "On various solutions of coupled KP equation"J.Phys.A. 35-32. 6893-6909 (2002)
• [Publications] KATSURA Toshiyuki(共著): "An invariant for varieties in positive characteristic"Contemp.Math.. 300. 131-141 (2002)
• [Publications] JIMBO Michio(共著): "A differential ideal of sywmetric polynomials spanned by Jack polynomials at β=-(r-1)/(k+1)"Int.Math.Res.Not.. 23. 1223-1237 (2002)
• [Publications] NOUMI Masatoshi(共著): "Backlund transformations and the manifolds of Painleve systems"Funkcial. Ekvac.. 45-2. 237-258 (2002)