多様体の特異点の研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14340005
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 石井 志保子 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (60202933)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 渡辺 敬一 日本大学, 文理学部, 教授 (10087083) ; 辻 元 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (30172000) ; 藤田 隆夫 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (40092324) ; 都丸 正 群馬大学, 医学部, 教授 (70132579) ; 泊 昌孝 金沢大学, 理学部, 助教授 (60183878)
• Keywords: singularity / geometric genus / jet scheme / arc space / moduli space

Research Abstract

○巡回商特異点の-K^2の集積点とこの特異点に対応する連分数の集積点の関係がわかった。
○一つの特異点に対して、その上の非特異多様体からの全射写像をすべて分解するような最大の多様体が存在することを示した。
これを幾何学的極小モデルと呼ぶ。ここではさらに、幾何学的極小モデルを有理曲線の存在で特徴付け、直積、商、関手性などの性質を証明した。
○特異点に対して、その上の例外因子が単独であらわれるblow-upが存在するための必要十分条件をextremal functionの存在であたえた。
○1968年にNashによって出された問題:arc familiesとessential divisorsが全単射で対応する事を、toric singularitiesについては、肯定的に解決し、一般には否定的に解決した。
○特異点の重複度をfiltered blowing-upの理論によってそのassociated graded ring(tangent cone)の算術的なデータから、重複度を下から抑える不等式を得ました。これによって、重複度2に単純K3特異点については、定義式のNewton boundaryが(1,1,1,1)∈R^4を含むような良い座標系の存在をしめしました。これは、[Ishii-Tomari]でも触れているReid氏の予想をオリジナルな形で確認していることになります。
○超局面孤立特異点を定義する関数fに対して、そのMilnor数μ(f)を座標に与えられた重みと、それによるweighted Taylor展開f=f_p+f_<p+1>+…の言葉により、下から評価した。

Research Products

• [Publications] 石井志保子: "The invariant-K^2 and continued fraction for 2-dimensional cycle quotest singhanties"Abhandlungen Math. Sem. Hamburg. 72. 207-215 (2002)
• [Publications] 石井志保子: "Extremal functions and prime blow ups"Comm. Alg.. (掲載予定).
• [Publications] 石井志保子, Pierre Milman: "The geometric minimal model of analytie spaces"Math. Ann.. 323. 437-451 (2002)
• [Publications] 石井志保子, Jamos Kollar: "The Nash problem on arc families of singularities"Duke Math. J.. (掲載予定).
• [Publications] 渡辺敬一, 原伸生, 吉田健一: "F-rationality of Rees algebra"J of Algebra. 247. 153-190 (2002)
• [Publications] 辻本, G.Schumacher: "Quasi projectivity of Moduli space of polarized varieties"Annulus of Math. (掲載予定).
• [Publications] 渡辺 敬一: "環と体"朝倉書店. 179 (2002)