代数的サイクルの研究とアーベルの定理の高次元化

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14340009
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 斎藤 秀司 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (50153804)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小林 亮一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20162034) ; 松本 耕二 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (60192754) ; 藤原 一宏 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00229064) ; 佐藤 周友 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (50324398) ; 斎藤 博 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (80135293)
• Keywords: 代数的サイクル / 高次元類体論 / P進ホッヂ理論 / ホッヂ理論 / 高次アーベルヤコビ写像 / 混合モチーフ / ベイリンソン予想 / 高次チャウ群

Research Abstract

当該研究は(I)高次元類体論および(II)代数的サイクルの研究のふたつの大きな流れからなる。
(I)高次元類体論は高木-Artinにより確立された古典的類体論の高次元化とその応用を目指している。この理論の目指すところは数論的多様体のアーベル被覆代数的K理論を用いて統制することで、幾何学的類体論とも言える。整数環上有限型スキームにたいする高次元類体論は当該研究以前に加藤和也氏との一連の共同研究により完全な形で完成することに成功した。高次元類体論はその後もp進Hodge理論などの数論幾何学の様々な理論を取り入れつつ展開し、世界的なレベルで研究が続けられている。当該研究の高次元類体論における成果として、整数論においてよく知られた基本的定理である。Albert-Brauer-Hasse-Noetherの定理の高次元化に関する結果がある。
(II)主要な目標は"代数的サイクルを周期積分により統制する"という問題に取り組むことである。この問題の起源は19世紀の一変数複素関数論の金字塔ともいえるAbelの定理である。当該研究の目指すところはAbelの定理の高次元化である。これは"高次元多様体X上の余次元γの代数的サイクルたちのなす群を有理同値で割った群、Chow群CH^γ(X)の構造をHodge理論的に解明する"問題であると言える。この問題への第一歩として、Griffithsは1960年代後半Abel-Jacobi写像を周期積分を用いて定義し、CH^γ(X)を複素トーフスにより統制しようと試みた。しかし1968年MumfordがCH^γ(X)はγ【greater than or equal】2の場合に一般には複素トーラスといった既知の幾何学的構造により統制不可能なほど巨大な構造をもっており、とくにAbel-Jacobi写像の核は自明でないことを示した。これによりAbelの定理の高次元化の問題が非常に深遠な難問であることが認識された。このような状況にたいし当該研究はBloch-Beilinsonによる混合モチーフの哲学的指導原理に従い、GriffithsのAbel-Jacobi写像を一般化する高次Abel-Jacobi写像の理論を構成し、GriffithsのAbel-Jacobi写像では捉えきれない様々な代数的サイクルをこれを使って捉えることに成功した。この結果により高次Abel-Jacobi写像がAbelの定理の高次元化の問題にたいする重要なステップであることが示された。当該研究はさらに発展しつつあり、Blochの高次Chow群、Beilinson予想、対数的トレリ問題、などの様様な問題への応用を得ることにも成功している

Research Products

• [Publications] S.Saito: "Higher normal functions and Grittiths groups"J. Of Algebrcuc Geometry. 11. 161-201 (2002)
• [Publications] S.Saito: "Infinitescmal logarlimic Torelli problem"Advanced Studies in Pure Nath. 36. 401-434 (2002)