幾何構造を持つ多様体の不変量と群作用に関する研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14340026
• Research Institution: Tokyo Metropolitan University
• Principal Investigator: 神島 芳宣 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (10125304)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 横田 佳之 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (40240197) ; 今井 淳 東京都立大学, 理学研究科, 助教授 (70221132) ; GUEST Martin 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (10295470) ; 藤原 耕二 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (60229078) ; 神谷 茂保 岡山理科大学, 工学部, 教授 (80122381)
• Keywords: Quaternionic Kahler structure / Contact Structure / CR-structure / Sasakion3-structune / Heisenberg CR-structure / quaternionic hyperbolic space / noncompact Lie group action / flatness

Research Abstract

当該年度は四元数CR-構造を持つ4n+3次元多様体の群作用に関する研究として、3次元リー群の作用の存在と分類を試みた。4n+3次元多様体M上の球形Q C-C構造とは次の条件を満たす極大座標系{U_α,φ_α}_<α∈Λ>のことである:{U_α}_<α∈Λ>はMの被覆で各写像φ_α:U_α→φ_α(U_α)(⊂S^<4n+3>)は中への同相写像、局所変換φG_xβοφ^<-1>_α:φ_α(U_α∩U_β)→φ_β(U_α∩U_β)が一意的にg_<αβ>of PSp(n+1,1)に拡大する。M上に群Gの作用が与えられているとき、各元g∈Gに対し適当な近傍U_α,U_γがg(U_α)∩U_γ≠Oを満たすなら局所変換φ_γοgοφ_α^<-1>はPSp(n+1,1)の元の制限になるとき、Gは球形Q C-C構造を保つという。さらにリー群Gの作用はMの各点xでの固定化群G_xが有限群であるとき、Gは"ほとんど自由に"作用するという。今年度の研究で4n+3次元球形Q C-C多様体上のほとんど自由な作用をもつ3次元リー群の作用の存在と分類を行った。定理A.3次元連結リー群Gがほとんど自由に4η+3次元コンパクト球形Q C-C多様体に構造を保つように作用しているときその多様体Mは次のいずれかに同型である:(1)(G, P(V^<4m+3>_<-1>×S^<4(n_m)+3>)/Γ)、これは四元数双曲一射影軌道体H^m_H×HP^<n-m>/Γ^*上のG-束。(m=0,…,n)。G=Sp(1)あるいはSO(3)。(2)インフラ羃零多様体(Т^3,М/Δ)、これはコンパクト四元数ケーラー軌道体H^n/Δ^*上のТ^3-束になっている。この定理からほとんど自由な作用はコンパクト群に限ることがわかる。一方ノンコンパクトリー群の作用を考えるとき、すでに剛性定理が存在する:"もしコンパクト球形Q C-C多様体Mが構造を保つノンコンパクトリー群の作用を許すならばMは球面S^<4n+3>に同型である"。したがって、ノンコンパクト群の決定はS^<4n+3>に作用するPSp(n+1,1)の閉ノンコンパクト部分群の決定に帰着する。定理B.ノンコンパクト3次元連結リー群Gが4n+3次元コンパクト球形Q C-C多様体Mに構造を保つように作用しているときMは標準的Q C-C構造を持つ球面S^<4n+3>に同型でさらに(i)Gは単純群で実双曲群PO(2,1)^0か複素双曲群PU(1,1)と共役となる。(ii)GはPSp(η+1,1)の極大リー部分群Μ×(T^<n+1>×R^+)の閉ノンコンパクト可解部分群に共役である。さてこの"ほとんど自由な"3次元リー群作用を持つQ C-C多様体の例を考えると3-(擬)-佐々木多様体がある。定理C.4n+3次元多様体(M,g)をコンパクト3-(擬)-佐々木多様体とする。このとき(G,M,g)は球形Q C-C幾何(PSp(n+1,1),S^<4n+3>)に関して一意化され、(I)もしMがコンパクト3-佐々木多様体ならば、球形空間形(G,S^<4n+3>/F)に同型、さらに(M,g)は四元数ケーラー射影軌道体(HP^n/F^*, g_<HP>)上のG=Sp(1)(あるいはSO(3))-束になる。(II)もしMがコンパクト3-擬-佐々木多様体ならば負定曲率をもつ(3,4n)-型の擬-リーマン標準空間形(G,V^<4n+3>_<-1>/Γ)に同型である。さらに(M,g)は四元数双曲軌道体(H^n_H/Γ^*,g_H)上のG=Sp(1)(あるいはSO(3))-束になる。以上が得られた成果である。

Research Products

• [Publications] 神島芳宣: "CR manifolds and transformation groups"Selected Topics in CR geometry (S.Dragomr Ed)Quadenid Mat. 9. 175-218 (2003)
• [Publications] 神島芳宣: "Geometry of Flat mar tolds : Past 20 years"The 50th Topology Symposium Proceedings, Matsumoto. 131-141 (2003)
• [Publications] 神島芳宣: "BOCHNER FLAT STRUCTURES ON COMPLEX KALHER MANIFOLDS"Perspective of Hyperbolic space,数理研講究録. 1329. 8-20 (2003)
• [Publications] 神島芳宣: "Bochner flat structures from the viewpoint of spherical, Heisenberg CR-geometry"Geometry and Analysis on CR manifolds, Academia Sinia. 13-19 (2003)
• [Publications] 神島芳宣: "Three-dimensional Lie group actions on compact (4n+3)-dimensional geometric manifolds"D.flerential geometry and application. 1-26 (2004)
• [Publications] 神島芳宣: "Quaternionic and Para-quaternionic CR structure on a (4n+3) -dimension manifold"Central European J.of Mathematics. 1-23 (2004)