ユニタリ表現の分岐則の理論と幾何構造の変換群による非可換調和解析

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14340043
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 小林 俊行 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (80201490)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 大島 利雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50011721)
• Keywords: ユニタリ表現 / 共形幾何 / 擬リーマン多様体 / 山辺作用素 / 分岐則 / リー群 / 重複度 / 極小表現

Research Abstract

1.偶数次元のユークリッド空間R^<m+n>におけるウルトラ双曲型微分方程式
(∂^2/∂x^2_1+【triple bond】+∂^2/∂x^2_m-∂^2/∂x^2_<m+1>)-【triple bond】-∂^2/∂x^2_<m+n>)F=0
の解空間に共形変換群O(m+1,n+1)で不変な内積を具体的に構成した。m=1,すなわちローレンツ計量の時には,波動方程式に関するエネルギー保存則は時間不変性をもつが(もっと大きな対称性である)共形不変性をもたない。我々の構成した内積はエネルギーから定まる内積とは異なり、時間不変性のみならず共形不変性をもつ。さらに、そのような内積は次元が4以上の場合には正のスカラー倍を除いて一意的に存在することを証明した(文献[3,6])。
2.一般の擬リーマン多様体に対し、その共形変換群の表現を山辺作用素を用いて構成した。計量が正定値でない場合には、多様体がコンパクトであっても、この方法で構成した表現は多くの場合無限次元になる。得られた表現の抽象的な性質、特に普遍性・ユニタリ化・既約性を研究するとともに、具体的な幾何的モデルに対して精密な性質を研究した。上記の1はこの特別な場合な枠組みにおいて捉らえられる(文献[1,2,4,11])。
3.重複度1の分岐則についての複素解析的な立場からの定式化を行い、種々に分散している例を統一する新しい考え方を提唱した。現在得られた成果については、フランス、ドイツなどで発表し、また、論文を準備中である(得られた結果の一部は文献[5,7,8,10]で発表した)。
4.Hilbert-Riesz変換などのmultiplierを不変式論の立場から特徴づけ、さらに不変性の高いmultiplierを新しく見出し、そのL^p-L^q連続性などをNilssonと共同研究した(文献[9])。
5.ユニタリ表現の制限の離散的分岐則の基礎理論について、研究代表者によるHarvard大学での講義およびEuropean Schoolでの講義に基づいた解説文を著した(文献[12])。

Research Products

• [Publications] T.Kobayashi, B.Orsted: "Analysis on minimal representations of O(p,q), I. Realization and conformal geometry"Advances in Mathematics. 180. 486-512 (2003)
• [Publications] T.Kobayashi, B.Orsted: "Analysis on minimal representations of O(p,q), II. Branching laws"Advances in Mathematics. 180. 513-550 (2003)
• [Publications] T.Kobayashi, B.Orsted: "Analysis on minimal representations of O(p,q), III. Ultra-hyperbolic equations on R^<p-1,q-1>"Advances in Mathematics. 180. 551-595 (2003)
• [Publications] T.Kobavashi: "Conformal geometry and analysis on minimal representations"Rendiconti del circolo Maematico di Palermo. 71. 14-40 (2003)
• [Publications] T.Kobayashi, S.Nasrin: "Multiplicity one theorem in the orbit method"Amer.Math.Soc.Transl. Series 2, Amer.Math.Soc. A Volume In memory of Professor F.Karpelevic. 210. 161-169 (2003)
• [Publications] T.Kobayashi: "O(p,q)の極小ユニタリ表現のシュレディンガーモデル"数理解析研究所講究録. 1342. 107-116 (2003)
• [Publications] T.Kobayashi: "Theory of discrete decomposable restrictions of unitary representations of semisimple Lie groups and its applications"Sugaku Exposition, Amer.Math.Soc.. (to appear).
• [Publications] T.Kobayashi: "Multiplicity one theorem on branching laws and geometry of complex manifolds"数理解析研究所講究録. 1348. 1-9 (2003)
• [Publications] T.Kobayashi, A.Nilsson: "Characterizing multipliers by relative invariance"数理解析研究所講究録. 1348. 10-22 (2003)
• [Publications] T.Kobayashi: "Geometry of multiplicity-free representations of GL(n), visible actions on flag varieties. and triunity"Acta Applicandae Mathematicae. (in press). (2004)
• [Publications] T.Kobayashi, G.Mano: "Integral formulas for the minimal representations for O(p,2)"Proceedings of Twente Conference. (to appear).
• [Publications] T.Kobayashi: "Lectures on restrictions of unitary representations of real reductive groups"Progress in Mathematics. (to appear).